Definición de "prueba"

Una vez leí un libro de acertijos lógicos y había una pequeña historia (ficticia) sobre un niño que recibió una F en su examen de geometría porque su profesor dijo que su prueba de que todos los ángulos de un triángulo suman 180 grados estaba mal. El niño respondió con algo como: "Has definido para nuestra clase todo lo relacionado con líneas paralelas, ángulos, etc., pero no has definido 'prueba'. ¿Cómo se supone que voy a saber cómo probar algo si no lo has hecho?" definido lo que significa probar algo?".

Pensé que esto era muy interesante, así que busqué la definición de Google:

Evidencia o argumento que establece o ayuda a establecer un hecho o la verdad de una declaración.

Merriam-Webster lo definió como:

a: la contundencia de la evidencia que obliga a la mente a aceptar una verdad o un hecho

b: el proceso o una instancia de establecer la validez de una declaración especialmente por derivación de otras declaraciones de acuerdo con los principios del razonamiento

¿Por qué la mayoría de los profesores no se preocupan por definir la "prueba" de una clase?

Además, ¿es posible probar que hay cierto número de formas de probar un enunciado?

Para la segunda pregunta, primero deberá definir cuándo dos pruebas son iguales, lo cual no es trivial.
Una definición formal de lo que constituye una prueba matemática requeriría conceptos y abstracciones demasiado exigentes para la escuela primaria, o incluso para los primeros estudiantes universitarios. La aplicación de un razonamiento deductivo sólido en la formulación de una prueba matemática proviene de nuestra intuición matemática.
La suma de los ángulos internos de un triángulo depende de si las líneas rectas localmente paralelas están a la misma distancia entre sí en todas partes (supuesto, por ejemplo, por Euclides), divergen (hiperbólicas) o se cruzan entre sí (como en la superficie de una esfera). Sin tener esto en cuenta, la prueba intentada sería necesariamente algo deficiente. Pero solo asumiendo tácitamente un espacio euclidiano, podría haber sido aceptado como prueba durante aproximadamente 2500 años, y solo se consideró que faltaba durante aproximadamente 200 años ( desde ~ 1830 ).
[… continuación del comentario anterior] Por lo tanto, si una prueba se considera válida depende no solo de (1) qué técnicas de prueba se consideran válidas en ese momento, sino también de (2) qué supuestos se consideran hechos establecidos. Con respecto a las técnicas de prueba, me gustan las llamadas pruebas "mirar-ver", por ejemplo, simplemente ver visualmente la propiedad conmutativa de la multiplicación . Estas son pruebas válidas. Lamentablemente, ya en la década de 1990 mis alumnos (en la universidad) no habían aprendido cosas tan simples. Sin mencionar, por ejemplo, la demostración del teorema de Pitágoras. :(
Creo que para comprender realmente el concepto moderno de prueba, habría que comenzar con el teorema de completitud de Gödel (no sus teoremas de incompletitud, que vinieron después, sino su teorema de completitud). Se trata de lo que se puede probar mediante la manipulación de símbolos meramente mecánicos, y cómo las nociones más sutiles de validez y verdad se corresponden con eso. Pero entonces uno está en cosas realmente complejas.
Una respuesta es que lamentablemente se presta poca atención a la prueba y al rigor en la educación matemática de k-12 (aquí hablo como estadounidense) para "perder" el tiempo hablando sobre la naturaleza de la prueba. Es fácil imaginar un plan de estudios de secundaria que incluya teoría de números elemental, técnicas básicas de conteo, combinatoria y otros temas divertidos, accesibles y rigurosos, pero estamos más interesados ​​en enseñar a los niños a seguir reglas que enseñarles cómo pensar. Perdón por ponerme político...
Su segunda pregunta es interesante y es algo que siempre me he preguntado. Las pruebas formales de una oración en la lógica de primer orden pueden diferir entre sí de manera superficial: por ejemplo, simplemente cite superfluamente un axioma en medio de una prueba válida. ¿Hay alguna prueba teórica? manera de distinguir las diferencias superficiales de las diferencias sustantivas? Tal vez haya algún tipo de métrica que uno podría definir que da una noción de la distancia entre un par de pruebas. Luego podría preguntar cuántas bolas de un radio dado se necesitan para cubrir el espacio de las pruebas. de una oración. Pero esto es probablemente demasiado fantasioso
Una pequeña dosis de lógica formal utilizando software de computadora puede ser útil para que los estudiantes, incluso en la escuela secundaria, comprendan qué es una prueba válida. En el primer ejemplo del tutorial que viene con mi propio comprobador de pruebas, el estudiante prueba A & B => B & A en 5 líneas. Las reglas de inferencia (premisa, división, unión y conclusión en este caso) se seleccionan desde una barra de menú. Estas reglas se basan en una versión simplificada de FOL. Para obtener más información, una demostración en video y una descarga gratuita con todas las funciones, visite mi sitio web en dcproof.com

Respuestas (1)

La lógica matemática define de manera precisa el concepto de prueba "formal" y existe una rama del registro matemático, llamada teoría de la prueba, dedicada al estudio del objeto matemático: la prueba . [véase, por ejemplo, Sara Negri y Jan von Plato, Structural Proof Theory (2001)].

Pero claro que tenemos un concepto "intuitivo" de lo que cuenta como prueba o como argumento válido, del mismo modo que tenemos un concepto intuitivo de lo que es un número natural (los números que se usan para contar), previo a cualquier " definición "formal" de la misma, como la definición de la teoría de conjuntos de los números naturales .

Y nuestra intuición de lo que cuenta como prueba ha cambiado con el tiempo con el crecimiento del conocimiento matemático.

Ver: Yuri Manin, Un curso de lógica matemática para matemáticos (2010), página 45:

Una prueba se convierte en prueba sólo después del acto social de “aceptarla como prueba”. Esto es tan cierto para las matemáticas como para la física, la lingüística o la biología. La evolución de los criterios comúnmente aceptados para que un argumento sea una prueba es un tema casi intacto en la historia de la ciencia. En cualquier caso, el ideal de lo que constituye una demostración matemática de una “verdad no obvia” ha permanecido invariable desde la época de Euclides: debemos llegar a tal verdad a partir de hipótesis “obvias”, o afirmaciones ya probadas, mediante de una serie de deducciones elementales explícitamente descritas y “obviamente válidas”.

Así, el método de la deducción es un método matemático por excelencia .

[...] Cada prueba que se escribe debe ser aprobada y aceptada por otros matemáticos, a veces por varias generaciones de matemáticos. Mientras tanto, tanto el resultado como la prueba en sí pueden ser refinados y mejorados.

Así, el hecho de que los criterios actuales para una prueba "aceptable" sean bastante "universalmente compartidos" no contradice el hecho de que las pruebas matemáticas son actividades humanas (y sociales).

Los aprendemos en la escuela, y el "proceso de entrenamiento" al que estamos sujetos en la escuela es la forma en que aprendemos a comprender y manejar una prueba: esta es la razón por la cual el entrenamiento matemático no puede comenzar simplemente con la definición "formal" de prueba. , del mismo modo que no podemos aprender a contar partiendo de la definición teorética de conjuntos de número natural...

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