Derivación de energía cinética en restricciones de coordenadas cilíndricas

Un enfoque es comenzar desde$T=\frac12 m[\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2]$y use$x=\rho\cos\theta$,$y=\rho\sin\theta$para que, por ej.$\dot{x}=\dot{\rho}\cos\theta-\rho\dot{\theta}\sin\theta$. Combinar términos y simplificar.

O, para la parte polar plana, usando$\frac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt} =\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$(considere el cambio en$\hat{\boldsymbol{\rho}}$con pequeño$dt$y comparar con el cambio en$\theta$), tenemos$\dot{\boldsymbol{\rho}}=\dot{\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho \frac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt} =\dot{\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho \dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$y usa la ortogonalidad de$\hat{\boldsymbol{\rho}}$y$\hat{\boldsymbol{\theta}}$después de cuadrar.

Una alternativa es utilizar$T=\frac12 m \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \frac12 m g_{ij}\dot{q}^i \dot{q}^j$donde la métrica$g_{ij}$es diagonal con$g_{\rho\rho}=g_{zz}=1$y$g_{\theta\theta}=\rho^2$.