Hacer rodar una pelota en un cono; ¿Cuáles deberían ser las fuerzas en general?

Question

Hacer rodar una pelota en un cono; ¿Cuáles deberían ser las fuerzas en general?

sam paredes

Esta es mi solución para encontrar el desplazamiento angular/velocidad/aceleración en el cono hasta ahora.

Considere un cono, con un vértice de medio ángulo $\psi$ apuntando hacia abajo, y una altura de $h$ . Si hago rodar una pelota hacia la tangente de la parte superior del cono (la parte superior del cono es paralela al suelo, al igual que la trayectoria inicial de la pelota) con velocidad $u$ . Llamaremos a esto 'velocidad inicial'.

estoy usando la relacion

α = \frac{a_{t}}{r} = \frac{F}{metro r}

$\alpha = {a_t \over r} = {F\over mr}$ Empezar. Donde alfa es la aceleración angular.

El radio viene dado por trigonometría como:

r = (h - Z) broncearse (ψ)

$r = (h-Z)\tan (\psi)$ dónde

Z

$Z$ es el desplazamiento desde la parte superior del cono.

las expresiones:

Dado que la única fuerza tangencial debe ser causada por la fricción (y negativa, porque actúa contra el movimiento), e integrando con respecto al tiempo obtenemos las tres ecuaciones:

α = - \frac{m norte}{metro (h - Z) broncearse (ψ)}

$\alpha = - {\mu N \over m(h-Z)\tan (\psi)}$

ω = - \frac{m norte t}{metro (h - Z) broncearse (ψ)} + \frac{tu}{h broncearse (ψ)}

$\omega = - {\mu Nt \over m(h-Z)\tan(\psi)}+{u \over h\tan(\psi)}$

θ = - \frac{m norte t^{2}}{2 metro (h - Z) broncearse (ψ)} + \frac{tu t}{h broncearse (ψ)}

$\theta = - {\mu Nt^2 \over 2m(h-Z)\tan(\psi)} + {ut \over h\tan(\psi)}$

Z:

$Z$ es el desplazamiento desde la parte superior del cono en el tiempo $t$ . Primero imagino la aceleración general por el cono, $a$ , como la hipotenusa de un triángulo, y la aceleración vertical $a_v$ como el adyacente cuando se usa $\psi$ . Por lo tanto

a_{v} = a porque (ψ)

$a_v = a\cos(\psi)$ y por integración, el desplazamiento vertical

Z

$Z$ es ...

Z = \frac{1}{2} a t^{2} porque (ψ)

$Z = {1\over 2} at^2 \cos(\psi)$ luego podemos colocarlos para

Z

$Z$ en las expresiones anteriores!

Resumen de lo que no entiendo:

¡Las partes que no entiendo son las partes que me quedan! una expresión para $N$ , la fuerza normal, y para $a$ la aceleración hacia el vértice del cono. Al principio pensé que serían simples, como cuando te hacen una pregunta sobre una masa en un plano inclinado o un giro peraltado. Resulta que es mucho más difícil porque debería haber una fuerza subiendo por la pendiente (además de la fricción), inducida por $u$ ! (¿verdad?) Al no considerar esta parte, las ecuaciones eran casi correctas, excepto que la trayectoria de la pelota (vista desde arriba) dio una especie de media vuelta alrededor del vértice antes de golpearla. Mientras que en una simulación que hice en la unidad (y como era de esperar en la vida real) dio la vuelta al vértice más y más a medida que se acercaba, hasta terminar. (Voy a conseguir algunas fotos para mostrarles). Entonces, si agrego esta parte a la fuerza/aceleración general, debería seguir rodando por más tiempo. Tampoco estoy seguro, ¿la velocidad tangencial $v_t$ alguna vez cambiar de $u$ ? esto puede ser útil para saber si la fuerza que sube es proporcional a $v_t$ .

¡Gracias de antemano!

La respuesta que me dio @ ja72 (que fue fantástica, pero no estoy seguro de dónde tomarla exactamente, puede terminar usando algo para resolver esto: D) fue para una versión anterior de esta pregunta. (No sé si puede ver mis ediciones para esto, si puede, debería poder ver la versión anterior).

Brian polillas

Observe que el problema será bidimensional ya que la velocidad inicial está en la dirección radial. Básicamente, debería ser una pelota rodando por una rampa.

usuario65081

No será lo mismo, la velocidad tangencial aumentará por conservación del momento angular de una forma no descrita por una masa que baja por una rampa

sam paredes

@julianfernandez Lo sé, pero considera una masa que baja por una pendiente. No hay componente de fuerza, aparte de la fricción, que actúa cuesta arriba . En el caso de mi problema, hay , y no sé cómo averiguar qué es esto. Si tal vez dibujara un diagrama, mostrando lo que quería, ¿lo haría más simple?

sam paredes

@NowIGetToLearnWhatAHeadIs ¿No necesariamente? ¿No deberían ser proporcionales de alguna manera la fuerza que va tangente al círculo y la fuerza que actúa sobre la pendiente? Esto es realmente molesto, para cada dirección que estoy considerando hay una fuerza general, una fuerza normal y una fuerza de fricción, de todos modos me aturde. :)

usuario65081

Sam, estaba respondiendo al comentario hecho por Now... Para responder a tu pregunta necesito dibujarlo primero, lo haré después de recoger a mis hijos de la escuela si nadie más lo hizo.

sam paredes

@julianfernandez ah, :) ups, usa @[name] para responderle a alguien y llamar su atención.

usuario65081

@SamWalls, el problema es más difícil de lo que parece, obtuve un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas (porque el ángulo de la fuerza de fricción es una función del tiempo. Ciertamente no es un problema de nivel de secundaria (bueno, a menos que seas superdotado). Avísame si todavía estás interesado en las ecuaciones.

Juan Alexiou

@julianfernandez Si asume siempre el rodamiento puro, el coeficiente de fricción debería cancelarse y las ecuaciones deberían simplificarse. Por favor muestre su trabajo para la comunidad.

usuario65081

@ ja72 no, por alguna razón (¿se editó la pregunta original?) Interpreté que era una masa no rodante (como un cubo). Soy bastante lento escribiendo en látex, por lo que no tiene sentido si ya obtuviste la solución para la pregunta real.

sam paredes

@julianfernandez Estoy definitivamente interesado. Mi investigación no exige que comprenda con precisión lo que está sucediendo aquí. Simplemente podría hacer un experimento para diferentes ángulos de vértice, diferentes velocidades iniciales, luego hacer una relación proporcional simple usando gráficos. Pero creo que todavía estoy interesado, me alegraría el día si pudiera calcular la posición de la pelota, luego pongo mi dedo en la pantalla, pongo el video en ese marco de tiempo y la pelota está justo en mi dedo : )

Respuestas (1)

Hacer rodar una pelota en un cono; ¿Cuáles deberían ser las fuerzas en general?

Observe que el problema será bidimensional ya que la velocidad inicial está en la dirección radial. Básicamente, debería ser una pelota rodando por una rampa.
No será lo mismo, la velocidad tangencial aumentará por conservación del momento angular de una forma no descrita por una masa que baja por una rampa
@julianfernandez Lo sé, pero considera una masa que baja por una pendiente. No hay componente de fuerza, aparte de la fricción, que actúa cuesta arriba . En el caso de mi problema, hay , y no sé cómo averiguar qué es esto. Si tal vez dibujara un diagrama, mostrando lo que quería, ¿lo haría más simple?
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs ¿No necesariamente? ¿No deberían ser proporcionales de alguna manera la fuerza que va tangente al círculo y la fuerza que actúa sobre la pendiente? Esto es realmente molesto, para cada dirección que estoy considerando hay una fuerza general, una fuerza normal y una fuerza de fricción, de todos modos me aturde. :)
Sam, estaba respondiendo al comentario hecho por Now... Para responder a tu pregunta necesito dibujarlo primero, lo haré después de recoger a mis hijos de la escuela si nadie más lo hizo.
@julianfernandez ah, :) ups, usa @[name] para responderle a alguien y llamar su atención.
@SamWalls, el problema es más difícil de lo que parece, obtuve un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas (porque el ángulo de la fuerza de fricción es una función del tiempo. Ciertamente no es un problema de nivel de secundaria (bueno, a menos que seas superdotado). Avísame si todavía estás interesado en las ecuaciones.
@julianfernandez Si asume siempre el rodamiento puro, el coeficiente de fricción debería cancelarse y las ecuaciones deberían simplificarse. Por favor muestre su trabajo para la comunidad.
@ ja72 no, por alguna razón (¿se editó la pregunta original?) Interpreté que era una masa no rodante (como un cubo). Soy bastante lento escribiendo en látex, por lo que no tiene sentido si ya obtuviste la solución para la pregunta real.
@julianfernandez Estoy definitivamente interesado. Mi investigación no exige que comprenda con precisión lo que está sucediendo aquí. Simplemente podría hacer un experimento para diferentes ángulos de vértice, diferentes velocidades iniciales, luego hacer una relación proporcional simple usando gráficos. Pero creo que todavía estoy interesado, me alegraría el día si pudiera calcular la posición de la pelota, luego pongo mi dedo en la pantalla, pongo el video en ese marco de tiempo y la pelota está justo en mi dedo : )

Juan Alexiou · Answer 1

Establecí un sistema de coordenadas en el vértice del cono, con $+\hat{y}$ apuntando hacia arriba y $+\hat{x}$ apuntando radialmente hacia afuera en un ángulo de azimouth (ubicación) $\theta=0$ . La posición de la pelota se define por la distancia desde el vértice de la pendiente hasta la pelota. $r$ y la longitud alrededor del cono $\theta$

\vec{pag} = R o t (\hat{y}, θ) (\begin{matrix} r pecado ψ \\ 0 \\ r porque ψ \end{matrix}) = (\begin{matrix} r pecado ψ porque θ \\ r porque ψ \\ - r pecado ψ pecado θ \end{matrix})

$\vec{p} = {\rm Rot}(\hat{y}, \theta) \begin{pmatrix} r \sin \psi \\ 0 \\ r \cos \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \sin \psi \cos \theta \\ r \cos \psi \\ -r \sin \psi \sin \theta \end{pmatrix}$

En lo de arriba el ángulo $\psi$ es fijo y $r$ , $\theta$ son variables. Por eso

\vec{v} = \dot{\vec{pag}} = \frac{\partial \vec{pag}}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial \vec{pag}}{\partial θ} \dot{θ} \vec{v} = R o t (\hat{y}, θ) (\begin{matrix} \dot{r} pecado ψ \\ \dot{r} porque ψ \\ - r \dot{θ} pecado ψ \end{matrix}) = (\begin{matrix} pecado ψ (\dot{r} porque θ - r \dot{θ} pecado θ) \\ \dot{r} porque ψ \\ - pecado ψ (\dot{r} pecado θ + r \dot{θ} porque θ) \end{matrix})

$\vec{v} = \dot{\vec{p}} = \frac{\partial \vec{p}}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial \vec{p}}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ \vec{v} ={\rm Rot}(\hat{y}, \theta) \begin{pmatrix} \dot{r} \sin \psi \\ \dot{r}\cos\psi \\ -r \dot{\theta} \sin \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\psi (\dot{r} \cos\theta - r \dot{\theta} \sin \theta) \\ \dot{r} \cos \psi \\ -\sin\psi (\dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos\theta ) \end{pmatrix}$

Similarmente

\vec{a} = R o t (\hat{y}, θ) (\begin{matrix} pecado ψ (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \\ \ddot{r} porque ψ \\ - pecado ψ (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) \end{matrix})

$\vec{a} = {\rm Rot}(\hat{y}, \theta) \begin{pmatrix} \sin\psi (\ddot{r}-r \dot{\theta}^2) \\ \ddot{r} \cos\psi \\ -\sin\psi(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}) \end{pmatrix}$

Si ignora la inercia rotacional y el movimiento de giro y se enfoca en la trayectoria de la pelota, entonces $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ con las fuerzas netas actuando de la gravedad $\vec{W} = \begin{pmatrix} 0 \\ -m g \\ 0 \end{pmatrix}$ y contacto fuerza normal $\vec{N} = {\rm Rot}(\hat{y},\theta) \begin{pmatrix} -N \cos\psi \\ N \sin\psi \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -N \cos\psi \cos\theta \\ N \sin\psi \\ N \cos\psi \sin\theta \end{pmatrix}$

\vec{W} + \vec{norte} = metro \vec{a}

$\vec{W} + \vec{N} = m \vec{a}$

\begin{aligned} norte & = metro gramo pecado ψ + metro r {\dot{θ}}^{2} pecado ψ porque ψ \\ \ddot{r} & = r {\dot{θ}}^{2} {pecado}^{2} ψ - gramo porque ψ \\ \ddot{θ} & = - \frac{2 \dot{r} \dot{θ}}{r} \end{aligned}

$\boxed{ \begin{aligned} N & = m g \sin\psi + m r \dot{\theta}^2 \sin\psi\cos\psi \\ \ddot{r} & = r \dot{\theta}^2 \sin^2\psi - g \cos\psi \\ \ddot{\theta} & = - \frac{2 \dot{r} \dot{\theta}}{r} \end{aligned} }$

Sus condiciones iniciales están en $t=0$ , $\theta=0$ , $r = \frac{h}{\cos\psi}$ , $\dot{\theta} = \frac{u}{h \tan \psi}$ y $\dot{r}=0$ . No conozco una solución analítica, por lo que usaría una simulación numérica para obtener resultados.

notas

El $\dot{\boxed{\,}}$ la notación es la derivada del tiempo, y ${\rm Rot}(\hat{y},\theta)$ es la matriz de rotación estándar de 3 × 3 sobre el eje y .

¡GUAU, esto es excelente! Sin embargo, algo de eso está un poco más allá de mí. Solo explícame: ¿Qué significa $\dot{x}$ o $\dot \theta$ ¿significar? (¿o para qué lo estás usando?) Supongo que es el derivado, pero ¿en términos de qué?; $Rot(y, \theta )$ , ¿significa esto una rotación de $\theta$ alrededor $y$ ? Si es así, ¿cómo multiplicas una rotación por el vector como lo hiciste?; qué es $z$ ¿en este caso?; finalmente, esta podría ser una gran pregunta, pero ¿qué debo hacer para una solución numérica? ¿simplemente ejecutar simulaciones o hacer experimentos y luego usar los datos para encontrar expresiones?
@ ja72 No entiendo por qué se cancela la fricción y cómo estimó que los efectos de la inercia y la rotación son insignificantes y pueden ignorarse. ¿Tu formación es física?
Considerar la inercia rotacional complica las ecuaciones porque lo único que proporciona un par es la fricción. Mi experiencia es en robótica y dinámica.
Ok, después de considerar esto por un tiempo, creo que se puede hacer más fácil. Mis ecuaciones son casi correctas y se parecen casi a las simulaciones que he hecho en la unidad. Imagínese que está en la parte plana de un velladrome, mientras entra en la curva, si no hace un esfuerzo para girar con la curva, las fuerzas de reacción hacen que entre en la curva y suba la pendiente . Lo que necesito (creo) para completar mi ecuación es la fuerza que sube por el cono. Tengo la sensación de que debería haber una solución, algo similar a la forma en que resuelves las fuerzas en un giro peraltado, para encontrar esta fuerza. Aunque me gusta a dónde vas.

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