¿Es posible eliminar el último bloque de la capa más baja de una torre Jenga?

Vamos a tomar esto en pasos.

Primero, suponga que no hay fricción entre el bloque inferior y la torre, y entre el bloque inferior y el suelo. Si muevo el bloque "infinitamente rápido", la torre no habrá tenido tiempo de inclinarse y caerá verticalmente (y permanecerá erguida).

Esto me dice que hay dos cosas a considerar:

1. el tiempo que tarda en moverse (si me muevo lentamente, la torre se caerá)
2. la fricción entre el bloque y la torre (con suficiente fricción, arrastraré la torre)

Ahora sé qué ecuaciones tengo que establecer.

Primero, veamos el caso de "mover lentamente, sin fricción". si la torre tiene altura$H$, ancho$w$y distribución de masa uniforme, entonces caerá cada vez más rápido cuando lo apoyemos fuera del centro. Hace un tiempo escribí una respuesta sobre el equilibrio de un lápiz que incluye el cálculo de la ecuación de movimiento del péndulo invertido. Esto se complica por la suposición de que el soporte se mueve, así que simplifiquemos. Si apoyáramos la torre "en el borde", ¿cuánto tiempo tardaría en volcarse?

En parte, esto depende de la altura del bloque inferior: para un bloque muy delgado, la torre se inclinaría y luego se detendría en un ligero ángulo. Para un bloque más grande, se inclinará hasta que la esquina toque el suelo, y lo hará con la velocidad suficiente para seguir volcando. El siguiente diagrama muestra lo que estamos pensando:

Habrá una cierta altura de bloque.$h$por debajo del cual la torre no se derrumbará. Vamos a empezar a encontrar ese límite...

para masa$m$inicialmente desplazado$w/2$, el par total viene dado por

$$\alpha = \tan^{-1}\frac{w}{H}\\ D = \sqrt{H^2 + w^2}\\ \Gamma = m\cdot g \cdot D \sin (\alpha + \theta)$$

Y el momento angular de la barra con respecto al pivote es aproximadamente (para H>>w)$\frac13 m D^2$.

Ahora, la forma más fácil de calcular si la torre continuará derrumbándose es usando un argumento de energía. La torre se derrumbará si le queda algo de velocidad cuando el centro de masa esté sobre la esquina, es decir, cuando$\theta = \alpha$. Si el centro de masa está por debajo de la posición inicial cuando eso suceda, la torre se caerá.

Inicialmente, la c de m está en$H/2 + h$; después de que cae la esquina, la altura máxima del centro de masa es$\frac{D}{2} = \frac12 \sqrt{H^2 + w^2}$. En otras palabras, la torre es estable mientras

$$H + 2h < \sqrt{H^2 + w^2}$$

si asumimos$w$y$h$ambos son mucho menos que$H$, podemos reescribir esto por expansión:

$$H\left(1 + \frac{2h}{H}\right) \lt H\left(1 + \frac12\left(\frac{w}{H}\right)^2\right)\\ h \lt \frac{w^2}{4H}$$

Tenga en cuenta que este análisis se realizó con la suposición de que el bloque se mueve hasta el borde de la torre: si bien eso haría que la torre comenzara a inclinarse más rápidamente, restringe el ángulo que alcanza cuando la esquina se detiene. . Si tomamos el otro extremo donde el bloque se mueve "justo fuera del centro", entonces el ángulo inicial de inclinación cuando la esquina toca el suelo por primera vez es$\theta = \tan^{-1}\frac{w}{2H}$. Obviamente, si ese ángulo es mayor que el ángulo interno$\alpha$, la torre seguirá cayendo, pero suponiendo que no sea así, entonces se aplica el mismo análisis anterior. Esto pone un segundo límite a$h$:

$\frac{h}{2w} \lt \frac{w}{H}\ h \lt \frac{2 w^2}{H}$ps

Como puede ver, esta es, de hecho, una limitación menos severa: la posibilidad de que la torre siga moviéndose cuando aterrice establece un límite más estricto sobre el tamaño del bloque.

Ahora creo que podemos usar esta "altura límite del bloque" como una forma de estimar el tiempo que tenemos para mover un bloque más grande fuera del camino: si el bloque se quita antes de que la esquina toque el suelo, la torre seguirá moviéndose en el misma velocidad de rotación que antes, mientras que al mismo tiempo caía al suelo. Las ecuaciones ahora comienzan a complicarse mucho, especialmente si agregamos fricción. Creo que es hora de ir a una solución numérica...

El siguiente ejemplo de código de Python es una forma muy aproximada de abordar esto. Para los parámetros particulares que elegí, necesita que el bloque se extraiga con una velocidad de al menos 0,36 m/s, no particularmente rápido. Por supuesto, hago todo tipo de suposiciones aquí, y sospecho que la física que modelé fue bastante descuidada. Pero puede usar esto como punto de partida para una simulación adecuada. Dibuje diagramas, configure las ecuaciones de movimiento correctamente (como funciones en lugar de en línea) y use un mejor esquema de integración (leapfrog, Runge-Kutta) que el que usé. Estoy seguro de que hay al menos un error en el cálculo: no estoy teniendo en cuenta correctamente el movimiento lateral del centro de gravedad durante el tirón (la fuerza de fricción debería mover toda la torre hacia los lados).

Entonces, mucho que hacer, pero no puedo dedicar más tiempo a esto ahora. Pensé que podría apreciar este empujón en la dirección de una solución, pero no lo trate como "respuesta final correcta".

import math
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# very simplistic jenga simulation
H = 0.3  # m
w = 0.05 # m
h = 0.01 # m
D = math.sqrt(H*H+w*w) # diagonal
m = 1    # kg - just to make equations work... drops out everywhere
g = 9.8  # m/s/s
I = m*D*D/3.0

# initial stability criterion:
if (h < w*w/(4*H)):
    print 'stable'
else:
    print 'falls over'

plt.close('all')

#numerical solution - including friction. Loop over range of velocities
for v in np.arange(0.3,0.4,0.01):
 mu = 0.1 # set=0 for frictionless...
 dt = 0.0001
 theta = 0
 omega = 0
 alpha = math.atan(w/H)
 x = 0
 y = h + 0.5*H # center of mass height
 yc = h # corner height
 t=[0]
 a = [0]
 corner=[h]
 vy = 0
 while ((x < w/2) & (yc > 0)):
    beta = theta + alpha
    # torque due to gravity and friction
    # not sure about that second term...
    gamma = 0.5 * m * g * D * math.sin(beta) + m*g*mu*H/2 * (I/(I+m*H*H/4)) 
    dOmega = dt * gamma / I
    omega = omega + dOmega
    dy = omega * math.sqrt(x*x + 0.25*H*H) * math.cos(beta)
    y = y - dy # center of mass height
    yc = h - (x + w/2)* math.sin(theta) # corner height
    theta = theta + omega * dt
    a.append(theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(yc)
    x = x + v * dt
 # part 2 = free fall
 while(yc > 0):
    theta = theta + omega * dt
    vy = vy + g * dt
    dy = vy * dt
    yc = yc - vy*dt - dt * omega * D/2 * math.sin(alpha-theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(yc)
    a.append(theta)

 # part 3: does it keep falling:
 while((omega > 0) & (theta < math.pi/2)):
    gamma = m*g*D/2*math.sin(theta-alpha)
    dOmega = dt * gamma / I
    omega = omega + dOmega
    theta = theta + omega*dt
    a.append(theta)
    t.append(t[-1]+dt)
    corner.append(0)

 plt.figure()
 plt.plot(t, a)
 plt.plot(t, corner)
 plt.title('v = %.2f m/s'%v)
 plt.show()

Trazando la altura de la esquina y el ángulo de la torre en función del tiempo, obtienes diferentes regímenes. Si te mueves muy despacio, la torre se cae por completo (línea azul = ángulo; línea verde = altura de la esquina sobre el suelo):

Si tira muy rápido (por encima de 0,37 m/s en este caso, pero eso depende mucho de los parámetros elegidos), se inclinará un poco y luego se recuperará (la simulación se detiene cuando la torre comienza a girar en la otra dirección, es decir, cuando gira). ser estable):

Finalmente, en esta simulación, la torre simplemente se vuelve inestable a una velocidad de tracción de 0,36 m/s: puede ver que se tambalea y luego cae (observe la escala de tiempo más larga):