¿Gravedad en un mundo minecraftiano?

Tendría 6.378 km de profundidad. La misma profundidad que el radio de la Tierra.

Las matemáticas

Para calcular la gravedad de un plano infinitamente plano, simplemente necesitamos integrar la fuerza que se siente en los anillos concéntricos desde un radio de cero hasta el infinito.

Esta es una práctica básica en los cursos universitarios de física y se demuestra aquí . Resulta que la fuerza sobre una masa sobre el plano es igual a:

$$F = 2\pi Gm\rho_a h \int_0^\infty {{R}\over{(h^2+R^2)^{3/2}}}dR = 2\pi G \rho_a m$$

Por lo tanto, ¡la fuerza no depende de la distancia a la superficie! Esto tiene sentido porque cuanto más se aleja uno del avión, más vectores de fuerza gravitacional de la masa circundante apuntan hacia el avión. Es decir, la componente vertical de todos los vectores de gravedad se vuelve más grande. Los únicos factores que importan para la fuerza son la constante gravitacional, la densidad del plano y la masa del objeto. Dejemos la constante gravitacional en paz y juguemos con la densidad del plano. La masa del objeto no importa aquí, pero se puede establecer en uno para simplificar.

la densidad

Para que la fuerza gravitacional sea la misma que la gravedad de la Tierra, necesitamos establecer$2\pi G \rho_a$término igual a$9.8{{m}\over{s^2}}$. esto viene de$F = ma$, dónde$m$es la masa del objeto y$a$es la aceleración de la gravedad.

De este modo,$\rho_a$, la densidad de masa por unidad de área debe ser$2.34 * 10^{10} {kg\over{m^2}}$. Eso es realmente alto, pero veamos a dónde va.

La profundidad

Este plano es infinitamente delgado, por lo que la densidad de masa es por unidad de área, no por unidad de volumen. En realidad, esto no es un problema, es trivial ver que agregar otro plano infinito debajo de este primero simplemente agregará fuerza gravitatoria. Es decir, en realidad no importa si el plano es infinitamente delgado o tiene un kilómetro de espesor, solo depende de la densidad de masa de una porción de ese plano.

del volumen

Conocemos la densidad de la tierra (como la tierra, las rocas, etc., el material del plano) en términos de volumen, pero ¿qué pasa con el área? la conversión es$\rho_v = {{\rho_a}\over D}$dónde$\rho_v$y$\rho_a$son la densidad de masa para el volumen y el área respectivamente y$D$es la profundidad del plano$^1$. Entonces, si vamos a usar la densidad de volumen en lugar de la densidad de área en la ecuación, debe multiplicarse por la profundidad. No te burles todavía, esto funciona.

La densidad media de la Tierra es$5540 {kg\over m^3}$, pero la corteza donde vivimos tiene una densidad de alrededor$2700 {kg\over m^3}$. Vamos a mezclarlo un poco y hacer que el mundo sea un poco rico en hierro y digamos que la densidad es$3668 {kg\over m^3}$.

Si la densidad superficial es$2.34 * 10^{10} {kg\over{m^2}}$y la densidad volumétrica es$3668 {kg\over m^3}$entonces la profundidad debe ser de 6.378 km. Ese es el radio de la Tierra.

Ok, entonces modifiqué la densidad para obtener esa respuesta. Vaya cosa. Seleccione la densidad que desee y cambie la profundidad para trabajar.

de la fuerza

¿Quieres volver a comprobar eso? Podemos estar de acuerdo en que, dada una densidad superficial de$3668{kg\over m^2}$, la gravedad sobre el plano de la primera ecuación sería$1.538 * 10^{-6} {m\over{s^2}}$. Una cantidad muy pequeña de gravedad.

Pero entonces, ¿qué tan grueso es el avión? Digo un metro, vea la nota al pie 1. Aunque cualquier grosor funciona, pero nuestras unidades ya están en metros, así que ¿por qué no?

Ahora, también podemos estar de acuerdo en que si un plano idéntico estuviera en cualquier lugar debajo de este primero, su fuerza gravitatoria se sumaría a la del primero. Así como toda la suciedad debajo de nosotros se suma a la gravedad total que sentimos. Recuerda que la distancia desde el plano infinito no importa, la gravedad es la misma en todo el camino.

Entonces, ¿cuántos de estos planos de un metro de espesor deben estar debajo del superior para sumar una fuerza de$9.8{{m}\over{s^2}}$? Lo has adivinado, 6.378.000, o 6.378 km de profundidad si se apilan uno encima del otro.

$$1.538 * 10^{-6} {m\over{s^2}} * 6,378,000 = 9.8 {m\over{s^2}}$$

Espera, ¿qué pasa con los aviones de 1/2 metro? Ok, bueno, la mitad de la densidad y dos veces el número de planos entonces. Misma profundidad, misma gravedad.

Espera, ¿qué pasa con los aviones de 1/x metro? Ok, entonces 1/x la densidad yx el número de planos. Misma profundidad, misma gravedad.

Hecho de la diversión

La gravedad se extiende infinitamente en todas las direcciones. Esto significa que ambos lados de este mundo tendrán gravedad en la superficie de la Tierra. Las personas que viven del otro lado se llaman australianos.

Nota

1: La masa de una de las rebanadas es igual a la densidad de masa por unidad de área multiplicada por el área,$M = \rho_a A$. La densidad de masa de un volumen es masa por unidad de volumen,$\rho_v = {M\over V}$. El volumen se puede expresar como área por profundidad,$V = A*D$. Entonces podemos decir que la densidad de masa del volumen es$\rho_v = {M\over {A*D}}$La densidad volumétrica del avión sería entonces,$\rho_v = {{\rho_a A}\over {A*D}}$o$\rho_v = {{\rho_a}\over D}$. Entonces, para una profundidad de 1 metro, la densidad de masa del volumen sería igual a la densidad de masa del área.

Si me lo permiten, haré una derivación un poco más simple (creo) de la respuesta.

Empezamos con la ley de Gauss para la gravedad . En su forma integral, es

$$\oint_{\partial V}\mathbf{g}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}=-4\pi GM$$ Aquí, $\mathbf{g}$y $\mathrm{d}\mathbf{A}$son cantidades vectoriales de la aceleración gravitacional y un cambio vectorial infinitesimal en el área. $\partial V$es parte del área de superficie que abarca un volumen, en este caso, un pastillero gaussiano (consulte el Ejemplo 4.2). Dado que la superficie es presumiblemente de densidad superficial uniforme, $\mathbf{g}$debe ser el mismo en cualquier región, y por lo tanto $\mathbf{g}$es independiente de $\mathbf{A}$¹ . Usando esto, podemos escribir la integral como ¹ $$\int_{\partial V}||\mathbf{g}||\text{ }||\mathrm{d}\mathbf{A}||\cos\theta=-4\pi GM$$ porque $\theta=0$, y entonces $\cos\theta$va a $1$. entonces obtenemos $$\int_{\partial V}||\mathbf{g}||\text{ }||\mathrm{d}\mathbf{A}||=||\mathbf{g}||\int_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{A}=g(2\pi r^2)=-4\pi GM$$ dónde $g=||\mathbf{g}||$. el factor de $2$surgió del uso del pastillero gaussiano para el área. entonces tenemos $$g=-\frac{4\pi GM}{2\pi r^2}=-2\pi G\frac{M}{\pi r^2}=-2\pi G\sigma$$ dónde $\sigma$es la densidad de masa superficial, de Samuel $\rho_{\alpha}$. Hemos llegado allí por medios ligeramente diferentes a la respuesta de Samuel , sin pasar por esa integración (que realmente no es tan mala). También hemos usado el postulado de que $\mathbf{g}$(y por lo tanto $g$) es independiente de la ubicación, lo que tiene perfecto sentido en un plano infinito.

Desde aquí, es fácil encontrar la altura del avión, usando

$$\rho=\frac{\sigma}{h}\to h=\frac{\sigma}{\rho}\approx R_{\text{Earth}}$$

Este es un análogo directo de encontrar la densidad de carga en un plano infinito, o hacer lo contrario, encontrar el campo eléctrico en un punto en un plano infinito debido a una densidad de carga. Del mismo modo, podemos darle una densidad al plano infinito y luego encontrar la aceleración gravitacional en su superficie.

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¹ Para dos vectores$\mathbf{a}$y$\mathbf{b}$, el producto escalar es equivalente a

$$||\mathbf{a}||\text{ }||\mathbf{b}||\cos\theta$$ dónde $\theta$es el ángulo entre $\mathbf{a}$y $\mathbf{b}$, y $||\text{ }||$denota la magnitud de un vector.