Escuché de aquí que las órbitas estables (las que requieren una gran cantidad de fuerza para empujarlas significativamente fuera de su camino elíptico) solo pueden existir en tres dimensiones espaciales porque la gravedad operaría de manera diferente en un espacio de dos o cuatro dimensiones. ¿Por qué es esto?
Específicamente a lo que se refiere es a la ' ley del cuadrado inverso ', naturaleza de la fuerza gravitatoria, es decir, la fuerza de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
.
Si amplía este concepto al de las fuerzas generales de la ley de potencias (por ejemplo, cuando piensa en el teorema del virial ), puede escribir:
,
Las órbitas estables solo son posibles para unos pocos valores especiales del exponente ' '---en particular, y más específicamente 'cerrado 1 ', las órbitas estables solo ocurren para (la ley del cuadrado inverso) y ( Ley de Hooke ). Esto se llama ' Teorema de Bertrand '.
Ahora bien, ¿qué tiene eso que ver con las dimensiones espaciales? Bueno, resulta que en una descripción más precisa de la gravedad (en particular, la relatividad general ) el exponente de la ley de potencias termina siendo uno menos que la dimensión del espacio. Por ejemplo, si el espacio fuera bidimensional, entonces la fuerza se vería como , y no habría órbitas cerradas.
Tenga en cuenta también que (y, por lo tanto, 4 o más dimensiones espaciales) es incondicionalmente inestable, según la respuesta de @nervxxx a continuación.
1: Una órbita 'cerrada' es aquella en la que la partícula vuelve a su posición anterior en el espacio de fases (es decir, su órbita se repite).
Intentaré responderla considerando las desviaciones radiales de una órbita circular. Primero tenemos que asumir dos cosas acerca de nuestro universo n-dimensional: la segunda ley de Newton sigue siendo válida, es decir,
para el vector de posición de una partícula en n-dimensiones ,
y también que la ley de la gravedad viene dada por la ley de Gauss:
La solución a esa pde es
Dado que el movimiento siempre estará restringido a moverse en los 2 planos abarcados por el vector radial inicial y el vector de velocidad inicial , es más fácil analizar el movimiento en coordenadas cilíndricas. Es decir, la segunda ley de Newton se convierte en
Ahora hacemos uso del hecho de que la gravedad siempre es radial, por lo que y podemos combinar las dos primeras ecuaciones para obtener
Para una órbita circular en , , por lo que nos queda
Vamos a comprobar esto en una fuerza radial . La condición de estabilidad da
Entonces para las dimensiones , la órbita es inestable. Parece, sin embargo, que para o , la órbita es estable, por lo que esto nos da el resultado de que las órbitas en 3 dimensiones (nuestro mundo) y también las de 2 dimensiones son estables, en desacuerdo con la afirmación del video. Aunque podría estar equivocado.
salud.
Un breve punto para agregar a las respuestas publicadas anteriormente, aunque no puedo pretender entender todas las matemáticas:
Hasta donde yo sé, las órbitas en 2D son estables en el sentido de que el cuerpo en órbita no escapa ni colapsa hacia el primario. Ver por ejemplo
https://www.reddit.com/r/askscience/comments/q8fmo/what_would_orbits_look_like_in_a_2d_universe/
De hecho, a medida que la fuerza 2D decae a 1/r, su potencial es logarítmico, lo que significa que la velocidad de escape es infinita. Esto es bastante fácil de mostrar; incluso yo puedo hacerlo.
Sin embargo, si he entendido bien, parece que las órbitas no suelen ser cerradas, sino que tienen forma de pétalos de flores. Para órbitas casi circulares, eso no sería necesariamente un gran problema.
Supongo que esto está hablando de la gravedad newtoniana (es decir, no de la relatividad). Consideremos el potencial efectivo:
donde es la energía potencial ordinaria, y es el momento angular. Primero, puede preguntarse por qué el potencial efectivo tiene esta forma. Recuerde que para una sola partícula, , por lo que esto es equivalente,
Este primer término surge de las ecuaciones de movimiento de una partícula libre. Expresarlo en términos de momento angular es conveniente porque bajo fuerzas centrales, el momento angular es una cantidad conservada.
¿Por qué usamos el potencial efectivo? Porque nos ayuda a hablar únicamente sobre los movimientos radiales de una partícula, agrupando los movimientos angulares con el potencial real . Un extremo local del potencial efectivo nos habla de una distancia de equilibrio.
Ahora, en 3d, el potencial porque la gravedad es . Lo que esto significa es que, como , el potencial efectivo eventualmente explotará, gracias a la parte del momento angular, superando la parte gravitacional y forzando a la partícula hacia afuera nuevamente a menos que se encuentre en una trayectoria de caída directa.
En 2d, el potencial es diferente. ¿Por qué es esto? La gravedad newtoniana trata con ecuaciones diferenciales de la forma . La solución de fuente puntual para esta ecuación (la función de Green) es proporcional a --comparar, por ejemplo, el potencial eléctrico de una carga lineal infinita. Esta es exactamente la misma geometría y ecuación diferencial, al menos en estructura.
Comprobemos por un segundo que este es el caso. Dejar en 2d para alguna constante . Entonces la fuerza gravitatoria es
que es interior para todo positivo . Esto es importante. En 2d, entonces, nuestro potencial efectivo parece,
para dos constantes . la fuerza es
Asi que . Pero, ¿es estable este equilibrio?
A , esto se evalúa como .
Hm. Eso sugeriría que el punto de equilibrio es estable. Entonces, tal vez alguien tenga una referencia para sugerir esto. Estoy atascado.
Michael Seifert