Normalización del nivel de Chern-Simons en la teoría de norma SO(N)SO(N)SO(N)

Déjame normalizar la acción como

$$S=\frac{k}{4\pi}\int\langle A\wedge dA + \frac{1}{3} A\wedge[A\wedge A]\rangle$$ por $\langle,\rangle$siendo la forma de Matar. Esto coincide con su normalización para $SU(N)$.

Variación de la acción de Chern-Simons bajo una transformación de norma$g:M\rightarrow G$es dado por

$$S\rightarrow S + \frac{k}{24\pi}\int_{g_*[M]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle,$$ dónde $\theta\in\Omega^1(G;\mathfrak{g})$es la forma de Maurer-Cartan (Proposición 2.3 en http://arxiv.org/abs/hep-th/9206021 ). El último término también se denomina término de Wess-Zumino. Por lo tanto, $\exp(iS)$es invariante si $$\frac{k}{24\pi}\int_{[C]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle\in2\pi\mathbf{Z}$$ por $[C]$el generador de $H_3(G;\mathbf{Z})$.

Para$G=SO(N)$, la homología es generada por$SO(3)\subset SO(N)$, y ese término se puede calcular de la siguiente manera. Como usted dice,

$$\frac{1}{24\pi}\int_{SU(2)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=2\pi,$$ pero $SU(2)\rightarrow SO(3)$es un difeomorfismo local 2:1, entonces $$\frac{1}{24\pi}\int_{SO(3)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=\pi.$$

Por lo tanto, el nivel$k$en este caso tiene que ser parejo. Véase también el apéndice 15.A del libro de teoría de campos conformes de Di Francesco, Mathieu y Senechal.

¿Podemos simplemente comentar que el$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]\equiv C(r) \delta^{ab}$depende de la representación. Para el caso de SU(2) y SO(3), podemos relacionar esto con la representación spin-S. Por cierto, el grupo SU(2) está en una representación de espín 1/2 y el grupo SO(3) está en una representación de espín 1. Uno puede escribir la relación de los operadores de espín como:

$$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1) \;\mathbb{I}_{2s+1}.$$ ( $\hbar=1$). Y $$\sum_a(S^a)^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2=\sum_{a=x,y,z}(T^a)^2=3 (T^b)^2$$ aquí $b$puede ser $x,y,z$. Entonces, combine las dos relaciones anteriores: $$\frac{1}{2}\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=\frac{1}{2}\frac{S(S+1)}{3}\text{Tr}[\mathbb{I}_{2s+1}]=\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}$$ Para SU(2), representación spin-1/2, tenemos: $$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1/2}=1/2$$ Para SO(3), representación spin-1, tenemos: $$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1}=2$$ .

Para la representación spin-3/2, tenemos:

$$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=3/2}=5,$$ etc. Diremos que el nivel k de cuantización de SU(2) CS y SO(3) CS están relacionados por un factor de: $$(1/2)/2=1/4.$$

Y este valor de cuantificación presumiblemente es un valor cuantificado medible para la conductancia de spin-Hall . Véase, por ejemplo, la discusión en este documento: Fases topológicas protegidas por simetría con simetrías de carga y espín: teoría de respuesta y teoría de calibre dinámico en 2D, 3D y la superficie de 3D: arXiv-1306.3695v2 , en Eq(26) y su p .7 columna derecha y en p.8 columna izquierda. Véase también este documento Phys Rev B.

Esta forma de interpretación simplifica el argumento matemático de Dijkgraaf-Witten o Moore-Seiberg a un nivel muy físico del giro.$S$propiedad. ¿Estarías de acuerdo?

¿Alguna idea/comentario adicional?