Cohomología de grupos y teorías topológicas de campos

Primero, el documento completo está aquí:

http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=807BE383780883ACB4CAB8BD48E8C90B?doi=10.1.1.128.1806&rep=rep1&type=pdf

En segundo lugar, el documento tiene 150 citas. Consulta toda esta información en INSPIRE (actualizado SPIRES):

http://inspirebeta.net/record/278923?ln=en

Tercero, el texto entre 3.4 y 3.5 parece totalmente comprensible. En ese momento, son capaces de definir$n\cdot S$módulo 1, que equivale a definir la acción$S$módulo$1/n$. El objetivo es definir la acción.$S$sí mismo módulo 1; Supongo que su normalización de la integral de trayectoria tiene que tener$\exp(2\pi i S)$con lo atípico$2\pi$factor. Sí, confirmado, es la ecuación 1.2.

Si cambia la acción por 1 - o$2\pi$en las convenciones ordinarias - no cambia el integrando de la integral de trayectoria; no cambia la física. De manera bastante general, si uno es capaz de decir que la acción$S$es igual a$S_0+n$(o$2\pi n$normalmente) para algún número entero$n$, sabe todo sobre la física de la acción que necesita; cambiarlo por un número entero no cambia nada. Es por eso que, de hecho, la acción a menudo se define solo en módulo 1 (hasta la suma de un número entero múltiplo de 1).

Entonces es suficiente saber la "parte fraccionaria" de la acción; la parte entera es irrelevante. Sin embargo, en el punto de la ecuación 3.4, su incertidumbre es mayor que eso: solo conocen el módulo de acción$1/n$. Por ejemplo, si la acción es$9.37$módulo$1/2$, significa que la parte fraccionaria puede ser$0.37$pero también puede ser$0.87$. Estos dos valores de$S$cambiaría la física porque la contribución de la configuración a la integral de trayectoria cambia el signo si uno cambia$S$por$1/2$(en convenciones normales, por$\pi$).

Si uno solo sabe$S$módulo$1/n$, y si él piensa que es$S_0$- en este caso, el$F\wedge F$expresión - significa que la acción real es

$$S = S_0 + K/n$$ y el entero $K$tiene que ser determinado. Porque el cambio de la acción $S$por un número entero no cambia la física, no importa si $K$en la ecuación anterior se cambia por un múltiplo de $n$. Así que el objetivo es encontrar el derecho $K$para definir la acción - y $K$es un módulo entero desconocido definido (o relevante) $n$, es decir, hasta la suma de un múltiplo irrelevante y arbitrario de $n$.

En algún momento, encuentran la respuesta correcta y es

$$K = -\langle \gamma^*(\omega),B\rangle$$ que elimina la ambigüedad de $S$- el conocimiento faltante si $S$debería ser el original $S$o mayor o menor por un múltiplo particular de $1/n$. Si no entiende el texto anterior, disculpe, no tengo forma de averiguar por qué, así que no puedo darle una mejor respuesta a menos que mejore su pregunta.

Dijkgraaf y Witten utilizaron$\mathcal H^3[G,U(1)]$para definir la teoría CS para el grupo calibre$G$. Recientemente, la cohomología de grupos ha encontrado aplicaciones en la física de la materia condensada. Puede clasificar las llamadas "fases topológicas protegidas por simetría" de los bosones que interactúan:

El$d$Fases topológicas protegidas por simetría dimensional de bosones que interactúan con el grupo de simetría$G$tiene una subclase, que puede ser etiquetada uno a uno por elementos en$\mathcal H^{d+1}[G,U(1)]$. ($d$son las dimensiones del espacio.)

(Las fases topológicas protegidas por simetría son para sistemas que interactúan, que son similares a los aisladores topológicos de los fermiones que no interactúan. Son estados entrelazados de corto alcance con simetría).

La parte entera de esto es una condición de cociclo, que es una medida del número de devanados para una transformación de calibre. La teoría de Chern-Simons (CS) es una$2~+~1$teoría del campo cuántico dimensional para un campo de calibre no dinámico$A_\mu$. La acción para tal teoría es

$$S_{CS}~=~\frac{k}{4\pi}\int A\wedge dA~+~\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A$$ Dónde $A_\mu$es un componente de la forma ${\underline A}~=~A_\mu{\underline e}^\mu$para un campo de calibre no abeliano que se transforma en la representación adjunta del grupo de calibre $U(N)$.

La teoría para tener sentido debe comportarse bien bajo transformaciones de norma. Si bien es relativamente fácil mostrar la invariancia en el caso abeliano, el caso no abeliano es un poco más sutil. En este caso

$$S_{CS}~\rightarrow~S_{CS}~+~2\pi kN$$ Dónde $N$es un número entero para el número de devanado de la transformación de calibre realizada. La cuantificación de la teoría utilizando el formalismo de la integral de trayectoria de Feynman requiere que $e^{iS_{CS}}$ser invariante de calibre. Esto conduce a la condición de que $k~\in~{\mathbb Z}$. el entero $k$es el nivel de Chern-Simons $A_\mu$. Por lo general, cada grupo de indicadores en la teoría de Chern-Simons tiene un nivel asociado.

Esta forma de la teoría de Chern-Simons no es supersimétrica. Sin embargo, es posible hacer que el campo de calibre$A_\mu$un componente de un${\cal N}~=~2$multiplete vectorial. Esto necesariamente introduce dos campos escalares$A_\mu$ $F$, un campo auxiliar y un espinor de Dirac de 2 componentes$\psi$a la teoría en un supercampo

$$\Psi~=~\psi~+~\theta \sigma^\mu A_\mu~+~H.C.~+~{\bar\theta}\theta F.$$ Es posible extender esta teoría para admitir la plena ${\cal N}~=~8$SUSY (16 sobrealimentaciones).