Giro cuántico y violaciones de la relatividad especial

La relatividad especial tiene en cuenta el espín, pero solo cuando incluye la mecánica cuántica. La ecuación de Schrödinger para una partícula libre dice:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$$

que es una interpretación cuántica de la expresión no relativista:

$$\frac{p^2}{2m} = E$$

Dirac hizo esto relativista. Dado que necesita tratar el espacio y el tiempo de manera equivalente, y la derivada del tiempo debe ser lineal para hacer$|\psi|^2$una densidad de probabilidad, intentó:

$$(\alpha cp + \beta mc^2)\psi = E\psi$$

Después de mucho ruido, se descubre que$\alpha$y$\beta$deben ser cuatro objetos componentes que ahora se llaman matrices de Dirac$\gamma_{\mu}$, y:

$$i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc\psi=0$$

Los cuatro componentes de$\psi$luego se identifican como los 2 estados de espín (cada uno) del electrón y el positrón.

Entonces, en cierto sentido, las fuerzas de la relatividad giran sobre nosotros. Un tratamiento matemático profundo aborda las representaciones del grupo de Lorentz$O(3,1)$, que contiene copias de$SU(2)$, el grupo de giro de Pauli. Las álgebras asociadas se conocen como "Álgebra del espacio-tiempo" y "Álgebra del espacio".

Ese giro no relativista surge como la representación fundamental de$SU(2)$significa que es puramente mecánica cuántica. No hay un análogo clásico. Además, el experimento de Stern-Gerlach muestra que el espín es un sistema de 2 estados, que se puede cuantificar a lo largo de un eje arbitrario.

Goudsmit-Uhlenbeck trató de explicar los "efectos de giro" observados experimentalmente por una rotación "intrínseca" de la partícula. Pero esto violaría la relatividad especial ya que la superficie del electrón se movería más rápido que la velocidad de la luz (Ehrenfest).

Aun así, no tenemos que reelaborar la relatividad, porque hoy en día el espín se considera una propiedad de las partículas que no corresponde a una rotación real en el espacio físico.

La electrodinámica clásica predice que para un cuerpo que gira alrededor de su eje de simetría, el momento magnético es

$$\vec{\mu}=\frac{Q}{2M}\vec{S},$$ dónde$Q$es la carga total del cuerpo,$M$es la masa del cuerpo y$\vec{S}$es el momento angular de espín. Se observa experimentalmente que esto es incorrecto para un electrón; la expresión correcta es $$\vec{\mu}=g\frac{Q}{2M}\vec{S},$$ dónde$g=2$.

La ecuación de Dirac , una forma relativista de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín-1/2 (una derivación razonablemente accesible de la misma se puede encontrar aquí ), cuando se resuelve para un electrón en un campo electromagnético (como se muestra aquí ) predice correctamente$g=2$. Por lo tanto, no hay necesidad de volver a trabajar la relatividad especial; intentar modificar las ecuaciones de la mecánica cuántica para adaptarse a un hamiltoniano relativista hace predicciones adecuadas.