Gas ideal cuántico - Conjunto canónico - Notación de suma de número de ocupación (Huang)

Question

Gas ideal cuántico - Conjunto canónico - Notación de suma de número de ocupación (Huang)

Física
gas ideal
estadística-cuántica
mecánica estadística

xhiro

(Pregunta al final, en negrita, marcada con b) )

Para el gas ideal cuántico, el hamiltoniano (operador) del sistema es:

\begin{aligned} H = \sum_{i = 1}^{norte} H_{i} = \sum_{i = 1}^{norte} \frac{{PAG}_{i}^{2}}{2 metro} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal H=\sum_{i=1}^N H_i=\sum_{i=1}^N \frac{P_i^2}{2m} \end{align}$

dónde $N$ es el número de partículas.

En el conjunto canónico tenemos

\begin{aligned} ρ = {mi}^{- β H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal \rho = e^{-\beta \mathcal{H}} \end{align}$

dónde $\rho$ es el operador de densidad y $\beta = \frac{1}{K_BT}$ .

La entrada $jj$ de la matriz que representa este operador en base a vectores propios de $\mathcal{H}$ es entonces:

\begin{aligned} ρ_{j j} = {mi}^{- β {mi}_{j}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal \rho_{jj} = e^{-\beta E_j} \end{align}$

y por lo tanto, la función de partición viene dada por:

\begin{aligned} Z_{norte} = T r [ρ] = \sum_{j = 1}^{norte} {mi}^{- β {mi}_{j}} \end{aligned}

$\begin{align} Z_N = Tr[\rho]=\sum_{j=1}^\mathcal{N} e^{-\beta E_j} \end{align}$

dónde $\mathcal{N}$ es el número de valores propios $E_j$ de $\mathcal{H}$ (repetido incluido).

a)

Esto es lo que está escrito en algunos libros/notas de mecánica estadística (p. ej., Huang):

\begin{aligned} Z_{norte} = \sum_{{{norte}_{pag}}} {mi}^{- β mi} \end{aligned}

$\begin{align} Z_N = \sum_{\{n_p\}} e^{-\beta E } \end{align}$

con

\begin{aligned} mi = \sum_{\vec{pag}} ϵ_{\vec{pag}} {norte}_{\vec{pag}}, norte = \sum_{\vec{pag}} {norte}_{\vec{pag}} \end{aligned}

$\begin{align} E=\sum_{\vec{p}} \epsilon_\vec{p} n_\vec{p} \quad , \quad N=\sum_{\vec{p}} n_\vec{p} \end{align}$

dónde $n_\vec{p}$ es el número de ocupación (número de partículas) correspondiente a una configuración con momento $\vec{p}$ (?) y $\epsilon_\vec{p}$ la energía respectiva.

b)

Es $E_j = E \,$ ? Si es así, ¿cómo puedo ver eso? Si no, ¿qué hace exactamente $Z_N$ como está escrito en los libros (es decir, la suma como el anterior) significa?

Apéndice:

Pensé que si el sistema está en el estado $|\Psi^{(j)} \rangle$ , vector propio de $\mathcal{H}$ asociado con $E_j$ , entonces tal vez $|\Psi^{(j)} \rangle = |\phi_1^{(j)} \rangle |\phi_2^{(j)} \rangle...|\phi_N^{(j)} \rangle$ (con $|\phi_i^{(j)} \rangle$ siendo el estado de partícula $i$ cuando el sistema está en el estado $|\Psi^{(j)} \rangle$ ) y por lo tanto, $\begin{aligned} H | Ψ^{(j)} ⟩ & = (\sum_{i = 1}^{norte} H_{i}) | ϕ_{1}^{(j)} ⟩ | ϕ_{2}^{(j)} ⟩ . . . | ϕ_{norte}^{(j)} ⟩ \\ = (\sum_{i = 1}^{norte} ϵ_{i}^{(j)}) | Ψ^{(j)} ⟩ \end{aligned}$ $\begin{align} \mathcal H|\Psi^{(j)} \rangle &= \bigg(\sum_{i=1}^N H_i \bigg) |\phi_1^{(j)} \rangle |\phi_2^{(j)} \rangle...|\phi_N^{(j)} \rangle \\ &= \bigg(\sum_{i=1}^N \epsilon_i^{(j)} \bigg) |\Psi^{(j)} \rangle \end{align}$

$\qquad$ con $\epsilon_i^{(j)}$ siendo el valor propio de $H_i$ asociado con el vector propio $|\phi_i^{(j)} \rangle$ .

Desde $\mathcal{H}|\Psi^{(j)} \rangle = E_j |\Psi^{(j)} \rangle$ , tendríamos:

\begin{aligned} (*) & {mi}_{j} = \sum_{i} ϵ_{i}^{(j)} \end{aligned}

$\begin{align} \tag{*} E_j = \sum_{i} \epsilon_i^{(j)} \end{align}$

Si $n_\vec{p}$ las partículas tienen impulso $\vec{p}$ , entonces supongo que podríamos escribir esto como:

\begin{aligned} {mi}_{j} = \sum_{\vec{pag}} {norte}_{\vec{pag}}^{(j)} ϵ_{\vec{pag}}^{(j)} \end{aligned}

$\begin{align} E_j = \sum_{\vec{p}} n_\vec{p}^{(j)} \epsilon_\vec{p}^{(j)} \end{align}$

Finalmente, en lugar de hacer una suma sobre $j$ , deciden hacer una suma sobre todos los posibles $n_\vec{p}$ , obteniendo así la fórmula en los libros. ¿Es esto correcto?

EDITAR (respuesta a vistazo):

Esto es lo que conseguí:

Suponer $E_1$ y $E_2$ son valores propios del hamiltoniano total $\mathcal{H}$ con $g_{E_1}=2$ y $g_{E_2}=1$ . Entonces, hay dos estados propios $|E_{1_a} \rangle$ y $|E_{1_b} \rangle$ para cual

\begin{aligned} H | {mi}_{1_{a}} ⟩ = {mi}_{1} | {mi}_{1_{a}} ⟩ \\ H | {mi}_{1_{b}} ⟩ = {mi}_{1} | {mi}_{1_{b}} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H} |E_{1_a} \rangle = E_1|E_{1_a} \rangle \\ \mathcal{H} |E_{1_b} \rangle = E_1|E_{1_b} \rangle \end{align}$

y un estado $|E_{2} \rangle$ para cual $\mathcal{H} |E_{2} \rangle = E_2|E_{2} \rangle$ . Cada uno de estos estados se puede escribir en términos de los estados de las partículas, $|\epsilon_{i} \rangle$ (estados propios de $H_i$ con valores propios $\epsilon_i$ ). Decir $N=3$ y eso, por ejemplo:

\begin{aligned} | {mi}_{1_{a}} ⟩ = | ϵ_{1}, ϵ_{2}, ϵ_{2} ⟩ \to configuración {{norte}_{pag}}_{1_{a}} = {{pag}_{1}, {pag}_{2}, {pag}_{2}} \\ | {mi}_{1_{b}} ⟩ = | ϵ_{2}, ϵ_{2}, ϵ_{1} ⟩ \to configuración {{norte}_{pag}}_{1_{b}} = {{pag}_{2}, {pag}_{2}, {pag}_{1}} \\ | {mi}_{2} ⟩ = | ϵ_{5}, ϵ_{5}, ϵ_{2} ⟩ \to configuración {{norte}_{pag}}_{2} = {{pag}_{5}, {pag}_{5}, {pag}_{2}} \end{aligned}

$\begin{align} & |E_{1_a} \rangle = |\epsilon_{1},\epsilon_{2},\epsilon_{2} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_{1_a}=\{ p_1,p_2,p_2\} \\ & |E_{1_b} \rangle = |\epsilon_{2},\epsilon_{2},\epsilon_{1} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_{1_b}=\{ p_2,p_2,p_1\} \\ & |E_{2} \rangle = |\epsilon_{5},\epsilon_{5},\epsilon_{2} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_2=\{ p_5,p_5,p_2\} \end{align}$

Entonces, correspondiente a $E_1$ , tenemos números de ocupación $n_{p_1}=1$ , $n_{p_2}=2$ y $n_{p_k}=0$ $\forall k>2$ y para $E_2$ , números de ocupación $n_{p_2}=1$ , $n_{p_5}=2$ y $n_{p_k}=0$ para $k\neq 2,5$ .

$Z$ sería entonces, según su (2) :

\begin{aligned} Z & = {mi}^{- β (1 ϵ_{1} + 2 ϵ_{2} + \sum_{k > 2} 0 ϵ_{k})} + {mi}^{- β (1 ϵ_{1} + 2 ϵ_{2} + \sum_{k > 2} 0 ϵ_{k})} + {mi}^{- β (1 ϵ_{2} + 2 ϵ_{5} + \sum_{k \neq 2, 5} 0 ϵ_{k})} \\ = 2 {mi}^{- β (1 ϵ_{1} + 2 ϵ_{2})} + {mi}^{- β (1 ϵ_{2} + 2 ϵ_{5})} \\ = {gramo}_{{mi}_{1}} {mi}^{- β {mi}_{1}} + {gramo}_{{mi}_{2}} {mi}^{- β {mi}_{2}} \end{aligned}

$\begin{align} Z &= e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2 \epsilon_2 + \sum\limits_{k>2} 0 \epsilon_k)} + e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2 \epsilon_2 + \sum\limits_{k>2} 0 \epsilon_k)} + e^{-\beta (1 \epsilon_2 + 2 \epsilon_5 + \sum\limits_{k \neq 2,5} 0 \epsilon_k)} \\ &= 2e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2\epsilon_2)} + e^{-\beta (1\epsilon_2 + 2\epsilon_5)} \\ &= g_{E_1}e^{-\beta E_1} + g_{E_2}e^{-\beta E_2} \end{align}$

eslavos

Puede encontrar esto útil: arxiv.org/abs/1110.6264

Respuestas (1)

Gas ideal cuántico - Conjunto canónico - Notación de suma de número de ocupación (Huang)

glS · Answer 1

El punto es que para obtener la función de partición, debe sumar todos los estados , con el factor de peso habitual de Boltzmann $e^{-\beta E}$ .

Si etiqueta los estados propios de energía de su sistema con $| n \rangle$ entonces la función de partición tendrá la forma

\begin{matrix} (1) & Z = \sum_{norte} {gramo}_{norte} {mi}^{- β {mi}_{norte}}, \end{matrix}

$\tag{1} Z = \sum_n g_n e^{-\beta E_n},$ dónde

E_{n}

$E_n$ es la energía de la

n

$n$ -ésimo estado, y

g_{n}

$g_n$ es un factor de degeneración posiblemente presente que cuenta el número de estados con energía

E_{n}

$E_n$ (que en el caso no degenerado es igual a 1 y por lo tanto innecesario).

Si se trata de un sistema de muchas partículas, una forma de etiquetar los estados es especificando la configuración $\{ n_j\}_j$ , es decir, el número de ocupación $n_j$ del $j$ -ésima partícula, por cada partícula $j=1,...,N$ y, en consecuencia, la función de partición se puede escribir como

\begin{matrix} (2) & Z = \sum_{{{norte}_{j}}} gramo ({{norte}_{j}}) {mi}^{- β mi ({{norte}_{j}})}, \end{matrix}

$\tag{2} Z= \sum_{\{n_j\}} g(\{n_j\}) e^{-\beta E(\{n_j\})},$ donde es importante notar que la energía

E

$E$ depende de la configuración

{n_{j}}

$\{n_j\}$ .

Sin embargo, aunque (2) suele ser más práctico en estas circunstancias, también se podría expresar la función de partición en la forma (1) . Para tratar de hacerlo más claro, mostraré cómo haríamos esto: $E_j$ denote las energías propias del sistema total (así que recuerde que este $j$ es diferente del utilizado anteriormente, que etiquetó estados de una partícula ). Entonces la función de partición tiene la forma

\begin{matrix} (3) & Z = \sum_{j} {gramo}_{j} {mi}^{- β {mi}_{j}} . \end{matrix}

$\tag{3} Z = \sum_j g_j e^{-\beta E_j}.$ ¿Por qué es esto igual a (2) ? Porque todavía estamos contando todos los estados, solo que de una manera diferente. Ahora

g_{j}

$g_j$ es el número de estados con energía total $E_j$ , es decir, en términos de cómo se distribuyen los estados de una sola partícula:

{gramo}_{j} = \sum_{{{norte}_{pag}} | \sum_{pag} ϵ_{pag} = {mi}_{j}} gramo ({{norte}_{pag}}),

$g_j = \sum_{\{n_{\textbf p} \}\, | \sum_{\textbf p} \!\epsilon_{\textbf p}=E_j} g( \{n_{\textbf p} \}),$ dónde

ϵ_{p}

$\epsilon_{\textbf p}$ es la energía de un electrón en el estado

p

$\textbf p$ , y ahora estoy etiquetando estados de partículas individuales usando sus momentos

p

$\textbf p$ .

no estoy seguro, el $j$ El índice que usaste no tiene mucho sentido para mí. ¿No es el número de ocupación el número de partículas que ocupan un estado dado? Por lo que pude entender, lo que escribiste sugiere que, si considero (*) (suponiendo que el apéndice hasta esta parte sea correcto), es posible que no solo tenga varias partículas con la misma energía, $\epsilon_i$ , correspondiente a $E_j$ , pero también puede haber partículas con energía $\epsilon_i$ correspondiente a otro valor propio $E_k$ . El número total de partículas con energía. $\epsilon_i$ será entonces $n_\vec{p}$ (como en el libro), ¿verdad?
El índice $j$ etiqueta los estados de una partícula, lo que significa que cada partícula está en algún estado que etiquetamos $j=1,2,...$ . Con $\{n_j\}$ nos referimos a la $N$ -estado de partículas con $n_1$ partículas en estado $j=1$ , $n_2$ partículas en estado $j=2$ etcétera. La condición $\sum_{j} {norte}_{j} = norte,$ $\sum_j n_j = N,$ dónde $N$ es el número total de partículas está implícito en estos cálculos (y en la suma (2) ). Con (2) queremos decir que podemos tener $n_1$ del $N$ partículas en estado $j=1$ , $n_2$ en el estado $j=2$ etcétera. Cada uno de estos estados es igualmente válido, por lo que sumamos sobre todos ellos.
@nvon en el caso de partículas libres puedes pensar en el índice $j$ como etiquetar los momentos, es decir, como siendo su $\textbf p$ . Dado que la relación de dispersión de energía es $E_{\textbf p} = \textbf p^2/2m$ hay una correspondencia de uno a uno entre los dos. Así que llámalo $n_j$ o $n_{\textbf p}$ , el punto clave es que está etiquetando los estados de una sola partícula.
Creo que estábamos diciendo lo mismo, pero la repetición $j$ El índice me confundió. Edité la publicación ( EDITAR ) agregando un ejemplo. ¿Está eso de acuerdo con lo que escribiste?
@nvon sí, estoy de acuerdo con lo que escribió (tenga en cuenta, sin embargo, que en sus ejemplos las partículas no son idénticas, de lo contrario, debería tener, por ejemplo, también el estado $E_{1_c} = |\epsilon_2,\epsilon_1,\epsilon_2 \rangle$ , pero creo que eso no es relevante para su problema).
Estaba pensando en partículas idénticas. Eso significa la degeneración de $E_n$ está determinado por el número de formas en que podemos distribuir el mismo $p_i$ s momentos entre las partículas idénticas (resultando así en la misma configuración). ¡Gracias!

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