Detener la corriente y el cumplimiento de la ecuación de Maxwell

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Detener la corriente y el cumplimiento de la ecuación de Maxwell

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Física
ecuaciones de maxwell
electrodinámica-clásica

GDumphart

Preámbulo: Matemáticamente, la divergencia de un campo de Foucault es cero, por lo que para el campo magnético

\nabla \cdot \nabla \times B = 0

$\nabla\cdot\nabla\times\boldsymbol B = \boldsymbol 0$ y desde el

\nabla \times B

$\nabla\times\boldsymbol B$ Ecuación de Maxwell

\nabla \cdot (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) = 0 .

$\nabla\cdot \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) = 0 \ .$ La integral de lo anterior sobre cualquier volumen es

0

$0$ . También lo es una integral de superficie cerrada (teorema de integración de Gauss) del argumento de la divergencia, es decir

\forall A

$\forall A$

\oint_{A} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = 0

$\oint_A \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0$

Mi experimento mental: como superficie cerrada, elijo una esfera $A$ centrado en el origen. Dividí la esfera en una parte izquierda. $L$ y parte derecha $R$ , ambas superficies abiertas con $A = L \cup R$ . Superficies $L$ y $R$ tienen la misma orientación tal que

\int_{L} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = \int_{R} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S

$\begin{equation} \int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = \int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ sigue desde

\oint_{L \cup R} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = 0 .

$\oint_{L \cup R} \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0 \ .$ Ahora asumo todo actual

J

$\boldsymbol J$ que fluye hacia la esfera proviene del

L

$L$ -lado y luego se detiene en el interior (en un patrón simétrico alrededor del origen), provocando una acumulación de carga y un valor distinto de cero

\partial E / \partial t

$\partial \boldsymbol E / \partial t$ .

Mi problema: Debido a lo anterior, $\partial \boldsymbol E / \partial t$ tiene que ser radialmente simétrica y así

\int_{L} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S = \int_{R} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S

$\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S = \int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$

EDITAR
Con mi declaración de $L$ y $R$ orientación, esto debe ser
$\int_{L} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S = - \int_{R} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S$ $\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S = -\int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ ¡Cuál fue mi error y, en retrospectiva, hace que el resto de la pregunta sea nula!

/EDITAR

son iguales y lo que queda para cumplir la ecuación de flujo anterior es

\int_{L} j \cdot d S = \int_{R} j \cdot d S .

$\begin{equation} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S = \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \ . \end{equation}$ Pero claramente tenemos

\begin{aligned} \int_{L} j \cdot d S & \neq 0 \\ \int_{R} j \cdot d S & = 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S & \neq 0 \\ \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S & = 0 \ . \end{align}$

Entonces, ¿dónde está mi defecto? ¿Cuál es la pieza que falta para salvar las ecuaciones? ¿Es esta una consideración ingenua y necesito usar el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell y considerar una onda EM emitida por la desaceleración de la carga, lo que produce otras fuentes de $\partial \boldsymbol E / \partial t$ ? ¿O incluir la causa de la corriente de parada en términos de un campo eléctrico?

Ladrillo Cuántico

Si

J

$J$ está fluyendo, entonces creo

\int_{R} \vec{J} \cdot d \vec{S} \neq 0

$\int_R \vec{J} \cdot d\vec{S} \neq 0$ . Si la carga se acumula, tiene que llegar al lado derecho de alguna manera.

por simetría

Por que

\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ tiene que ser radialmente simétrico?

GDumphart

@QuantimBrick Si asumo que toda la corriente se detiene en el interior, no hay flujo en el lado derecho.

Ladrillo Cuántico

@GDumphart Sí, lo hay. Si el material está acumulando corriente (y lo está, ya que le está inyectando corriente desde el lado izquierdo), entonces, por el hecho de que esta acumulación es simétrica, también debe fluir hacia el lado derecho.

GDumphart

@BySymmetry Requirí que las cargas se detuvieran simétricamente alrededor y cerca del origen. O teóricamente exactamente en el origen si lo prefiere.

GDumphart

@QuantumBrick Si te entiendo bien, entonces lo que supones es la suposición de corriente constante

\nabla \cdot J = 0

$\nabla \cdot \boldsymbol J = 0$ de la magnetostática. Allí, el flujo de densidad actual a través de todas las superficies abiertas con borde común sería el mismo, como dices. Para el caso de la electrodinámica

\nabla \cdot J = - \partial ρ / \partial t

$\nabla \cdot \boldsymbol J = -\partial \rho/\partial t$ , esa suposición es incorrecta y la corriente de desplazamiento de Maxwell se une a la fiesta, y mi pregunta es de este dominio.

Ladrillo Cuántico

Eso no es lo que estaba diciendo, supongo. Pero creo que la pregunta fue respondida.

por simetría

@QuantumBrick Sí, pero tiene corriente en un lado y no en el otro, por lo que la situación aún no es simétrica.

Respuestas (1)

Detener la corriente y el cumplimiento de la ecuación de Maxwell

Si $J$ está fluyendo, entonces creo $\int_R \vec{J} \cdot d\vec{S} \neq 0$ . Si la carga se acumula, tiene que llegar al lado derecho de alguna manera.
Por que $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ tiene que ser radialmente simétrico?
@QuantimBrick Si asumo que toda la corriente se detiene en el interior, no hay flujo en el lado derecho.
@GDumphart Sí, lo hay. Si el material está acumulando corriente (y lo está, ya que le está inyectando corriente desde el lado izquierdo), entonces, por el hecho de que esta acumulación es simétrica, también debe fluir hacia el lado derecho.
@BySymmetry Requirí que las cargas se detuvieran simétricamente alrededor y cerca del origen. O teóricamente exactamente en el origen si lo prefiere.
@QuantumBrick Si te entiendo bien, entonces lo que supones es la suposición de corriente constante $\nabla \cdot \boldsymbol J = 0$ de la magnetostática. Allí, el flujo de densidad actual a través de todas las superficies abiertas con borde común sería el mismo, como dices. Para el caso de la electrodinámica $\nabla \cdot \boldsymbol J = -\partial \rho/\partial t$ , esa suposición es incorrecta y la corriente de desplazamiento de Maxwell se une a la fiesta, y mi pregunta es de este dominio.
Eso no es lo que estaba diciendo, supongo. Pero creo que la pregunta fue respondida.
@QuantumBrick Sí, pero tiene corriente en un lado y no en el otro, por lo que la situación aún no es simétrica.

mateus sampaio · Answer 1

por tu parición $A=L\cup R$ , tenemos eso

\begin{matrix} \oint_{A} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = 0 & ⟹ \\ \int_{L} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S + \int_{R} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = 0 & ⟹ \\ \int_{L} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S = - \int_{R} (j + ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}) \cdot d S \end{matrix}

$\begin{gather}&\oint_A \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0 &\implies\\ &\int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S + \int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S =0&\implies\\ &\int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = -\int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S \end{gather}$ entonces los flujos no son iguales, son opuestos . Entonces, aunque

\int_{L} \frac{\partial mi}{\partial t} d S = \int_{R} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S

$\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S = \int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ sostiene, esto no tiene contradicción con

\int_{L} j \cdot d S \neq \int_{R} j \cdot d S

$\begin{equation} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \neq \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ solo tenemos eso

\begin{matrix} \int_{L} j \cdot d S + \int_{L} ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} d S = - \int_{R} \frac{\partial mi}{\partial t} \cdot d S & ⟹ \\ \int_{L} j \cdot d S = - \int_{A} ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} d S \end{matrix}

$\begin{gather}&\int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S+\int_L \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S=-\int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S&\implies\\ &\int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S=-\int_A \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S\end{gather}$

Te saltaste o malinterpretaste mi declaración de $L$ y $R$ orientación cuando no están unidos (no se preocupe, es difícil sin un boceto). Tomé ese esquema de aquí: users.ox.ac.uk/~math0391/EMlectures.pdf - muy al comienzo del capítulo 3, Eq (3.2). Pero tienes toda la razón acerca de que yo haga una señal estúpida boo boo, lo que resuelve mi problema. ¡Gracias por su respuesta!
Imaginé que este podría ser el caso, pero pensé que había una mayor posibilidad de que hubiera un error aquí, que en la afirmación radialmente simétrica de que los flujos izquierdo y derecho eran iguales.
Con razón, no enfaticé lo suficiente mi suposición innecesaria.

Detener la corriente y el cumplimiento de la ecuación de Maxwell

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