Γ⊆Sent(L)Γ⊆Sent(L)\Gamma\subseteq \text{Sent}(\mathcal{L}) es consistente al máximo si tiene modelos, y dos modelos cualesquiera son elementalmente equivalentes.

Llamar$\Gamma\subseteq\mathrm{Sent}(\mathcal L)$ completa si por cada$\phi\in\mathrm{Sent}(\mathcal L)$:$\phi\in\Gamma$o$\neg\phi\in\Gamma$.

Entonces podemos demostrar que si$\mathfrak A\models\Gamma$para un conjunto completo de oraciones$\Gamma$, entonces$\Gamma=\mathrm{Th}(\mathfrak A)$. Para esto, tenga en cuenta primero que como$\mathfrak A\models\Gamma$, tenemos$\Gamma\subseteq\mathrm{Th}(\mathfrak A)$. Ahora deja$\phi\not\in\Gamma$. Entonces como$\Gamma$está completo, tenemos$\neg\phi\in\Gamma$. De este modo,$\mathfrak{A}\models\neg\phi$y por lo tanto$\phi\not\in\mathrm{Th}(\mathfrak A)$.

Trivialmente, si$\Gamma=\mathrm{Th}(\mathfrak A)$, entonces$\Gamma$es una teoría completa como$\mathrm{Th}(\mathfrak A)$es.

Podemos usar esto para mostrar ahora otro buen resultado sobre la integridad de las teorías. Para esto, llame$\Gamma\subseteq\mathrm{Sent}(\mathcal L)$una teoria si$\Gamma\models\phi$implica$\phi\in\Gamma$para cualquier$\phi\in\mathrm{Sent}(\mathcal L)$.

Dejar$\Gamma$Sea una teoría satisfactoria, entonces

Para la dirección de izquierda a derecha, suponga que$\Gamma$está completo y deja$\mathfrak A,\mathfrak B$ser dos modelos de$\Gamma$. Por el primer párrafo,$\mathrm{Th}(\mathfrak A)=\Gamma=\mathrm{Th}(\mathfrak B)$y por lo tanto$\mathfrak A\equiv\mathfrak B$.

Para la dirección de derecha a izquierda, suponga que todos los modelos de$\Gamma$son equivalentes elementales. Suponer que$\phi\not\in\Gamma$para algunos$\phi\in\mathrm{Sent}(\mathcal L)$. Entonces como$\Gamma$es una teoría,$\Gamma\not\models\phi$y por lo tanto hay una estructura$\mathfrak A$tal que$\mathfrak A\models\Gamma$y$\mathfrak A\not\models\phi$. Pero ahora, para cualquier$\mathfrak B\models\Gamma$, como$\mathfrak A\equiv\mathfrak B$, también tenemos$\mathfrak B\models\neg\phi$. De este modo,$\Gamma\models\neg\phi$y como$\Gamma$es una teoría, tenemos$\neg\phi\in\Gamma$.