En la lógica clásica de predicados, ¿por qué se suele suponer que existe al menos un objeto?

Contrariamente a la creencia popular, muchos teoremas se expresan de manera más elegante si permitimos estructuras vacías. Solo por ejemplo, la siguiente es una de las pruebas más útiles para la eliminación de cuantificadores.

Una teoría$T$tiene eliminación de cuantificador si y solo si para todos los modelos$M\models T$y$N\models T$, cualquier subestructura$A\subseteq M$y cualquier incrustación$f\colon A\to N$,$f$es un mapa elemental parcial.

El teorema es falso si requerimos la estructura$A$ser no vacío. Si observa el libro Model Theory: An Introduction , Theorem 3.1.4 de Marker, en realidad agrega la hipótesis antinatural de que el lenguaje contiene un símbolo constante para solucionar este problema.

Por otro lado, uno de los únicos lugares que conozco donde realmente ayuda asumir que todas las estructuras no están vacías es la forma normal prenex. Por ejemplo, la oración$(\forall x\, P(x))\land Q$, dónde$P$es un$1$-símbolo de relación aria y$Q$es un símbolo de proposición (un$0$-símbolo de relación aria) no es equivalente a ninguna oración en forma de prenexo. Por supuesto, esto se puede arreglar cambiando el teorema: cada fórmula de primer orden es equivalente sobre estructuras no vacías a una en forma de prenexo. Pero admito que es un poco insatisfactorio.

Si alguien tiene otros ejemplos de lugares donde prohibir estructuras vacías realmente parece mejorar la teoría, me gustaría conocerlos. (Aunque una advertencia justa: soy un verdadero partidario de este tema, por lo que probablemente responderé tratando de convencerlo de que existe una solución elegante que permite estructuras vacías).

En mi experiencia, realmente no hay problemas para desarrollar los conceptos básicos de la lógica de primer orden con estructuras vacías, ¡una vez que arreglas las reglas de prueba para que sean sólidas en estructuras vacías, por supuesto! Pero nuevamente, hay sistemas de prueba que son sólidos y completos en estructuras vacías y tan elegantes como los sistemas de prueba tradicionales, si no más. Si desea ver los detalles del teorema de completitud resuelto, puede consultar el Capítulo 3 de estas notas de clase sobre la teoría de modelos , donde doy un sistema de cálculo secuencial que es sólido y completo para la lógica de primer orden de orden múltiple en la que cualquiera o todos los géneros pueden estar vacíos.

Presentaré una versión abreviada de la explicación tradicional de la semántica de la lógica clásica ordenada, explicaré por qué no podemos permitir modelos vacíos bajo esta semántica y mostraré cómo podemos modificar la explicación tradicional para permitir modelos vacíos.

arreglar un idioma$L$- es decir, una colección de símbolos de función y símbolos de predicado.

Una estructura es un conjunto no vacío.$M$, junto con, para cada$n$-símbolo de función aria$f$, Una función$f_M : M^n \to M$, y para cada$n$-símbolo de predicado ario$P$, un$n$- predicado ario$P_M \subseteq M^n$. La estructura generalmente se denota abusivamente como$M$.

Recuerde que tomamos el conjunto de todas las variables como un conjunto numerable infinito$V$. Dada una estructura$M$, una asignación variable para$M$se define como una función$V \to M$. Dada una asignación de variable$\alpha$, una variable$v \in V$, y algo$m \in M$, definimos$\alpha[v \mapsto m]$ser el envío de asignación variable$v$a$m$y enviar$x \neq v$a$\alpha(x)$.

dado un término$t$y una asignación variable$\alpha$, podemos definir la "interpretación de$t$en$\alpha$", Escrito como$\alpha(t)$, como sigue:

$\alpha(v) = \alpha(v)$cuando sea$v \in V$(aquí, el lado izquierdo es "la interpretación de$v$en$\alpha$"y el lado derecho es la aplicación de función)
$\alpha(f(t_1, ..., t_n)) = f_M(\alpha(t_1), ..., \alpha(t_n))$cuando sea$f$es un$n$-símbolo de función aria y$t_1, ..., t_n$son términos.

La declaración$M, \alpha \models \phi$, dónde$M$es una estructura,$\alpha$es una asignación variable, y$\phi$es una declaración en lógica de primer orden en el lenguaje$L$, se define recursivamente de la siguiente manera:

$M, \alpha \models t_1 = t_2$si y solo si$\alpha(t_1) = \alpha(t_2)$
$M, \alpha \models P(t_1, ..., t_n)$si y solo si$(\alpha(t_1), ..., \alpha(t_n)) \in P_M$
$M, \alpha \models \top$siempre
$M, \alpha \models \bot$nunca
$M, \alpha \models A \land B$si y solo si$M, \alpha \models A$y$M, \alpha \models B$
... (se omiten otros conectores)
$M, \alpha \models \exists x \phi$si y solo si hay alguna$m \in M$tal que$M, \alpha[x \mapsto m] \models \phi$
$M, \alpha \models \forall x \phi$si y solo si para todos$m \in M$,$M, \alpha[x \mapsto m] \models \phi$

Definimos$M \models \phi$significar que para todos$\alpha : V \to M$, se da el caso de que$M, \alpha \models \phi$. Esto se lee como "$M$es un modelo de$\phi$".

Tenga en cuenta que esta definición se encuentra inmediatamente con un problema si permitimos$M$estar vacío Esto se debe a que no hay asignaciones de variables.$\alpha : V \to M$. Por lo tanto, para todos$\phi$,$M \models \phi$. ¡Esto no es lo que queremos! No queremos modelos de fenómenos contradictorios. Queremos que haya modelos de declaraciones si y solo si estas declaraciones son consistentes.

Afortunadamente, hay una manera de revisar esta cuenta para permitir modelos vacíos.

Una asignación de variable flexible se define como una función parcial$\alpha : V' \to M$, dónde$V'$es un subconjunto de$V$. Una asignación variable flexible$\alpha : V' \to M$se dice que es "compatible con$\phi$(mi propia terminología) si$FreeVariables(\phi) \subseteq V'$. Dada alguna asignación variable flexible$\alpha : V' \to M$, alguna variable$v \in V$, y algo$m \in M$, podemos definir una asignación variable flexible$\alpha[v \mapsto m] : V' \cup \{v\} \to M$que envía$v$a$m$y envía$x \in V'$,$x \neq v$a$\alpha(x)$.

Una vez que hemos definido las asignaciones de variables flexibles, podemos definir la interpretación de un término sobre esta asignación flexible. Una asignación variable flexible$\alpha : V' \to M$es compatible con un término$t$si y si$FreeVariables(t) \subseteq V'$. Si$\alpha$es compatible con$t$, entonces la interpretación de$t$en$\alpha$, escrito$\alpha(t)$, es definido por

$\alpha(v) = \alpha(v)$cuando sea$v$es una variable (el lado derecho es la aplicación de la función real, el lado izquierdo es "la interpretación de$v$en$\alpha$)
$\alpha(f(t_1, ..., t_n)) = f_M(\alpha(t_1), ..., \alpha(t_n))$para todos$n$-símbolos de funciones arias$f$y términos$t_1, ..., t_n$

La declaración$M, \alpha \models \phi$, dónde$M$es una estructura,$\alpha$es una asignación variable flexible en$M$,$\phi$es una declaración en el idioma$L$, y$\alpha$es compatible con$\phi$, se define recursivamente para significar

$M, \alpha \models t_1 = t_2$si y solo si$\alpha(t_1) = \alpha(t_2)$
$M, \alpha \models P(t_1, ..., t_n)$si y solo si$(\alpha(t_1), ..., \alpha(t_n)) \in P_M$
$M, \alpha \models \top$siempre
$M, \alpha \models \bot$nunca
$M, \alpha \models (A \land B)$si y solo si$M, \alpha \models A$y$M, \alpha \models B$.
... (se omiten otros conectores)
$M, \alpha \models \exists x \phi$si y solo si existe$m \in M$tal que$M, \alpha[x \mapsto m] \models \phi$.
$M, \alpha \models \forall x \phi$si y solo si para todos$m \in M$,$M, \alpha[x \mapsto m] \models \phi$.

La declaración$M \models \phi$significa que para todas las asignaciones de variables flexibles$\alpha : V' \to M$compatible con$\phi$, se da el caso de que$M, \alpha \models \phi$.

Tenga en cuenta que hay un poco más de trabajo aquí. Por ejemplo, tenemos que demostrar que si$\alpha$es compatible con$\forall x \phi$, entonces$\alpha[x \mapsto m]$es compatible con$\phi$.

Pero esto nos saca del acertijo anterior al permitir$M$estar vacío Esto se debe a que siempre existe la asignación de variable vacía, que es compatible con la instrucción$\bot$. Así que nunca es el caso de que$M \models \bot$incluso cuando$M$esta vacio.

Resulta que no es demasiado difícil modificar ligeramente las reglas normales de la lógica clásica de predicados para que sean sólidas y completas sobre esta definición modificada de "modelos". Las reglas modificadas prueban exactamente las mismas afirmaciones que las "reglas ordinarias" si asume$\exists x \top$.

Si permite que el dominio no esté vacío, debe introducir más complejidad para manejar símbolos no lógicos.

Puede relajarse o eliminar la suposición de que el dominio no está vacío, lo que le brinda varios tipos de lógica libre .

A primera vista, la lógica libre aborda un problema ligeramente diferente, a saber, cómo manejar símbolos constantes que no se refieren a nada ni a funciones parciales.

Sin embargo, estas son preguntas que debe abordar si desea permitir símbolos constantes en su vocabulario no lógico. En la teoría de la Aritmética de Peano, por ejemplo, hay una constante$0$. En una estructura vacía, no hay nada que$0$puede referirse a... por lo que no está claro cómo construir una estructura con un dominio vacío que podría ser o no ser un modelo de PA.

En la lógica de predicados clásica (cuantificada), asumimos que el dominio del discurso contiene al menos un objeto y que cada constante en el lenguaje se refiere a un objeto en ese dominio. Por supuesto, puede crear su propio sistema lógico sin tal idealización, pero siempre tendrá en cuenta que es posible que no tengamos objetos para abarcar en su fórmula, lo que complicará considerablemente la forma del lenguaje sin mucho beneficio en el análisis de problemas reales. Los problemas reales siempre se basan en objetos abstractos físicos o bien definidos (mentales) existentes; de lo contrario, es un problema metafísico algo nihilista o puramente imaginario similar al unicornio / pegaso que se puede emplear para describir la lógica libre .

Una lógica libre es una lógica con menos presupuestos existenciales que la lógica clásica. Las lógicas libres pueden permitir términos que no denoten ningún objeto. Las lógicas libres también pueden permitir modelos que tienen un dominio vacío. Una lógica libre con la última propiedad es una lógica inclusiva.

En un nivel filosófico más profundo, el filósofo Quine tiene un dicho famoso

"Ser es ser el valor de una variable ligada".

La existencia en sí misma no es un predicado en la lógica clásica consistente con el espíritu de Quine, por lo que primero debemos asumir la no vacuidad del dominio que se va a abarcar para la variable ligada. En otras palabras, la existencia de todas sus variables en FOL clásico ya está implícitamente asegurada por la suposición de no vacío del dominio del discurso en esta etapa de génesis , los cuantificadores posteriores deciden aún más su existencia bajo predicados correspondientes... Como resumen aquí en lógica clásica todos somos realistas y nos comprometemos con el no vacío de cualquier dominio del discurso de interés. Si resulta que ningún objeto en este dominio no vacío satisface algún predicado P(x), entonces simplemente concluimos la proposición$\neg \exists xP(x)$o$\forall x \neg P(x)$.