Fundamentos de la fuerza centrípeta

El objeto cae hacia el centro. Solo se extraña ...

• Imagina colocar un satélite en lo alto y soltarlo. Caerá hacia abajo y se estrellará.
• Ahora empújelo ligeramente hacia los lados mientras lo suelta para que tenga una pequeña velocidad lateral para empezar. Todavía me caigo, pero también se cae un poco de lado. Se estrella contra el suelo ligeramente hacia el lado de antes.
• Ahora dé una velocidad lateral aún mayor. Todavía se bloquea, pero esta vez lejos del lado del punto que está directamente debajo.
• Y ahora proporcione una velocidad de inicio aún mayor, tan grande que el satélite vuele tanto hacia los lados que no toque la Tierra. Todavía cae, pero cae además de la Tierra. Y no choca contra la Tierra.

Después de perderse la Tierra, el satélite se aleja de la Tierra por el otro lado. Pronto la gravedad lo atraerá de nuevo. Y sucederá lo mismo en todas partes: volverá a extrañar la Tierra. Esto continúa para siempre; esta es una órbita elíptica . Con una velocidad de inicio lateral aún mayor, la órbita elíptica se ensancha hasta que, a una velocidad lateral específica, se vuelve exactamente tan ancha como alta; ahora es una órbita circular .

La velocidad lateral necesaria para lograr una órbita exactamente circular se encuentra a través de la fórmula de aceleración centrípeta:

En este caso la aceleración centrípeta será la aceleración gravitatoria en la órbita.

Esta fue una explicación de por qué los objetos en movimiento circular no caen hacia el centro. La respuesta es que se caen . Se caen constantemente . Simplemente extrañan el centro constantemente también. No hay necesidad de efectos centrífugos para explicar esto. Tiene razón en que la llamada fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que no existe en el marco de inercia; es simplemente una fuerza "inventada" para explicar la tendencia "girada hacia afuera" que sentimos desde nuestra propia perspectiva (desde la rotación). marco) cuando está sentado en un automóvil que gira, en un carrusel giratorio, etc.

Creo que esta es la fuente de su confusión:

"... Pero el objeto debería haberse acercado más al centro..."

Nunca, jamás, utilice palabras relativas como "más cerca" sin preguntarse "¿Más cerca del centro que qué ?"

Y esa es la respuesta a su pregunta: el objeto se ha movido más cerca del centro de lo que habría estado si continuara moviéndose en línea recta .

Recuerde la primera ley de Newton: los objetos se mueven con una velocidad constante a menos que una fuerza actúe sobre ellos. Es decir, se mueven a una velocidad constante y en una dirección constante (una línea recta) a menos que una fuerza los desvíe de ese camino. En el caso de una trayectoria circular (o elíptica), la fuerza centrípeta está alejando continuamente el objeto de una trayectoria en línea recta.

Dado que el trabajo realizado por la fuerza que actúa radialmente hacia adentro siempre es cero en un movimiento circular, la energía cinética del objeto no cambia y, por lo tanto, no tira hacia adentro.

Una mejor manera de entender es una piedra atada a una cuerda que se mueve en círculo.

Piensa que la piedra se mueve inicialmente con una velocidad$v$. Tiende a moverse a lo largo de una línea recta, si no hay una fuerza externa que actúe sobre él. Pero la tensión de la cuerda está tratando de tirar de ella hacia adentro. Por lo tanto, cuando trata de moverse un poco hacia adelante, la tensión de la cuerda lo jala un poco hacia el centro. De nuevo, mientras la piedra intenta avanzar (la nueva dirección hacia adelante), la cuerda intenta tirar de ella hacia adentro. Este proceso ocurre durante el movimiento dentro de pequeñas cantidades de tiempo. El resultado general es que la piedra parece estar moviéndose en un camino circular.

¿Qué sucede si la cuerda no puede proporcionar la fuerza centrípeta requerida? Se rompe. Eso es porque: la piedra se mueve a gran velocidad. Entonces, mientras la cuerda intenta tirar de la piedra hacia adentro, la piedra prefiere permanecer en su camino recto debido al gran impulso debido a la alta velocidad. Así se separa de la cuerda y continúa su viaje en línea recta.

Entonces, ¿cuál es la causa de que el objeto no sea empujado radialmente hacia adentro por el efecto de la fuerza centrípeta?

La respuesta simple es porque se está moviendo, con una velocidad tangencial. Sabes lo que sucede si la cuerda está atada a una piedra estacionaria y tratas de tirar de ella.

Otro punto es que cualquier otra fuerza externa provocará la ralentización de la piedra. Pero la fuerza centrípeta no porque es perpendicular a la velocidad. Esto es más obvio porque el trabajo realizado por la fuerza centrípeta es cero. Cuando haces un movimiento de piedra y dejas de hacerlo, se ralentizará y finalmente se detendrá. Eso se debe a fuerzas externas como la resistencia del aire. Si no hay resistencia del aire, fricción o cualquier otra fuerza externa, puedes mover la piedra en un camino circular sin ningún esfuerzo.

La fuerza centrípeta sobre un objeto que se mueve en un radio circular.$r$y velocidad tangencial$v$es

El hecho de que el objeto se mueva con una velocidad tangencial$\bf v$en todo momento es relevante, ya que mientras la dirección de la fuerza es hacia el centro, el objeto se mueve en una dirección en ángulo recto con esta fuerza. En otras palabras,

Por lo tanto, la fuerza centrípeta no mueve el objeto hacia adentro (disminuyendo el valor de$r$), y por lo tanto no habrá desplazamiento en la dirección hacia adentro, y el objeto se mantendrá a la misma distancia mientras cambia continuamente de dirección.

Mientras que los objetos que están, por ejemplo, en órbitas circulares alrededor de la tierra, como la ISS, este objeto está constantemente en caída libre, pero la distancia promedio entre este objeto y la superficie terrestre no cambia.

También tiene razón en su "sospecha" con respecto a la fuerza centrífuga . Si bien actúa alejándose de la dirección hacia el centro, es simplemente una reacción (fuerza de inercia) a la fuerza centrípeta interna.

El objeto se movería más cerca del centro si se incrementara la fuerza centrípeta. Asimismo, se alejaría más del centro si se disminuyera la fuerza centrípeta. El punto sobre el movimiento circular es que es un estado de equilibrio en el que la fuerza aplicada al objeto tiene la fuerza exacta requerida para desviar su trayectoria de la posición recta sin permitir que el objeto salga en espiral o forzándolo a hacerlo. en.

Otra forma de analizar la situación: imagina un objeto moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj a una velocidad de$1$, comenzando en el punto$(1,0)$en el momento$0$. Si continúa moviéndose en línea recta, entonces en el tiempo$t$estará en el punto$(1,t)$, una distancia de$\sqrt{1+t^2}$. La serie de Taylor para eso es$1+\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...$.

si definimos$\Delta$como el cambio en la distancia radial,$\Delta = \sqrt{1+t^2}-1=1+\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...-1=\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...$

Si sacamos la segunda derivada para obtener la aceleración, obtenemos$\frac {d^2 \Delta}{dt^2}=1-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$. Si sumamos una aceleración de$1$hacia el centro, la aceleración neta es$-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$

Como tomamos el límite como$t \rightarrow 0$, esto va a cero.

El$1-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$es la aceleración centrífuga (donde, aquí, "aceleración" significa la segunda derivada de la distancia, no la segunda derivada de la ubicación; dado que la dirección de la distancia está cambiando, esas son dos cosas diferentes). Sin ninguna fuerza centrípeta, la distancia desde el centro aumentará, y en el marco de referencia giratorio, hay una fuerza centrífuga aparente. Cuando incluyes la fuerza centrípeta, la aceleración centrípeta se cancelará con la aceleración centrífuga y la aceleración instantánea neta será cero.

Al ir en un círculo a velocidad constante, la velocidad cambia. La velocidad es rapidez y dirección. Cambio de dirección, es cambio de velocidad. El cambio de velocidad es aceleración. Entonces, se necesita aceleración para moverse en un círculo. Por$F=ma$, que toma fuerza. Eso se llama fuerza centrípeta , la fuerza para mantener algo girando. En la dirección del cambio de velocidad: hacia el centro.

Si estás en la cosa que gira, sientes una fuerza que te aleja del centro, como si tuviera gravedad adicional. Las cosas en círculos son un "marco de referencia inercial" y se están acelerando. La fuerza aparente que sienten las cosas en el marco giratorio se llama fuerza centrífuga y es directamente hacia afuera.

Eso es porque la fuerza centrípeta es exactamente la cantidad de torsión necesaria para que el vector de momento de la partícula en un instante se mantenga tangente a la trayectoria en el siguiente.

Esto funciona para la unidad de velocidad y la unidad de masa, la fuerza es exactamente igual a la curvatura de la trayectoria.

Ya hay muchas respuestas útiles, pero...

Trataré de cubrir el tema de los marcos de referencia.

Hay marcos de referencia inerciales (no giratorios) y giratorios.

Cualquiera que sea el marco que estemos considerando, como observadores obstinados queremos que los objetos obedezcan las reglas newtonianas, que sin fuerza se muevan a velocidad constante en línea recta (o permanezcan en un punto como un caso especial), y que cualquier desviación del movimiento recto sea causado por alguna fuerza que actúa sobre el objeto.

En un marco inercial, no hay problema, todos los objetos siguen las reglas. Si un objeto no se mueve en línea recta, hay una fuerza real que lo hace cambiar su velocidad o dirección. Una trayectoria circular resulta si una fuerza de magnitud apropiada actúa constantemente hacia el centro de la trayectoria.

Pero en un marco giratorio, los objetos muestran un comportamiento extraño, como dar vueltas alrededor del centro del marco o girar en espiral hacia adentro y hacia afuera (aunque, desde una vista exterior, simplemente se quedan quietos o se mueven en línea recta). Entonces, un observador (ingenuo) en el marco giratorio concluye que debe haber fuerzas que empujan los objetos. Como este efecto solo es causado por el extraño entorno de observación, llamamos a estas fuerzas pseudofuerzas, y la fuerza centrífuga es un caso especial.

Ahora, observemos el objeto circular desde un marco giratorio coincidente, uno que está centrado en el centro de la trayectoria del objeto y gira con la misma velocidad que el objeto. Para un observador en ese marco, el objeto no se mueve, lo que significa que parece haber un equilibrio de fuerzas. El observador ya entiende que (pseudo-) fuerzas como la fuerza centrífuga actúan sobre todos los objetos. Entonces, para que el objeto "se detenga", una fuerza opuesta debe estar actuando sobre el objeto, la fuerza llamada "centrípeta". Esta es una fuerza real, ejercida, por ejemplo, por una cuerda sobre el objeto o por la gravitación (en el sentido no relativista).

Pero el objeto debería haberse acercado más al centro en ese caso debido a la fuerza radial hacia adentro que actúa sobre él.

Tomaré un enfoque bastante diferente aquí. ¿Por qué crees que el cuerpo debería acercarse al COM si actúa una fuerza centrípeta constante? No sigue. Eche un vistazo a la primera ley de Newton: dice que el cuerpo está tratando de estar en reposo o mantiene un movimiento lineal constante debido a la inercia. Entonces, alguien debe introducir una fuerza centrípeta constante solo para obligar al objeto a perdermovimiento lineal constantemente, para cambiar su velocidad tangencial (¡la velocidad es magnitud Y dirección!). Entonces, al aplicar una fuerza centrípeta, cambia constantemente la dirección del objeto y, como tal, lo obliga a permanecer en la misma órbita. Si desea acercar un objeto aún más a usted (imagínese girar un juguete sobre su cabeza con una cuerda), entonces necesita aplicar una fuerza centrípeta aún mayor, la aumentará, para acortar la órbita.

Y palabras finales: a veces los objetos giratorios se fusionan , compruebe las estrellas de neutrones binarias . Pero las razones de este efecto no se conocen completamente y probablemente estén fuera del alcance de la gravedad newtoniana. Una de las explicaciones de por qué un par de estrellas de neutrones se fusionan en una estrella se debe a la fuerte intensidad de las ondas gravitacionales que emiten estas estrellas de neutrones. Debido a la emisión de ondas gravitacionales, las estrellas pierden energía y, por lo tanto, se ven obligadas a entrar en órbitas más bajas hasta que se produce el colapso total. Pero como dije, esto necesita la Relatividad General para su explicación.