¿Cómo puedo calcular la derivada de la función delta usando su definición de Fourier?

El primer término no es cero en ningún sentido directo, de hecho, la expresión diverge claramente. La razón por la que en física puedes salirte con la tuya fingiendo que es cero es que$\delta$y su derivado$\delta'$en realidad no son funciones con una expansión de Fourier convergente en primer lugar, sino, como a menudo se les llama, distribuciones .

En mi opinión, la forma más fácil de entenderlo es que son vectores duales de un espacio funcional. Específicamente,$\delta$está en el dual del espacio$(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}))^\ast$del espacio de funciones continuas, y$\delta'$es en$(\mathcal{C}^1(\mathbb{R}))^\ast$es decir, funciones continuamente diferenciables. Una manera fácil y rigurosa de definirlos es

$$\begin{align} \delta_{x_0} \: f :=& f(x_0) \\ \delta'_{x_0} \: f :=& -f'(x_0) \end{align}$$ es decir, el argumento de$\delta$es en realidad una función , no un número real. Cualquier cosa escrita en el$\delta(x-x')$El estilo es, de hecho, solo pseudo-notación, que solo se vuelve bien definida cuando aparece en una integral: $$\begin{align} \int_\Omega\!\!\mathrm{d}x\ \delta(x-x_0) \cdot f(x) := \delta_{x_0}\:f =& f(x_0) & \text{if $x_0\in\Omega$} \end{align}$$ De manera equivalente, puedes hacer todo esto en el espacio de Fourier. La expansión$\delta(x) \propto \int\mathrm{d}k\ e^{-ikx}$en realidad no converge por sí mismo, sin embargo, converge cuando se multiplica en frecuencia con la transformada de Fourier de una función continua, porque tal expansión tiene coeficientes que decaen con al menos$O(k^{-1})$, entonces $$\|e^{-ikx} \cdot\operatorname{FT}(f)(k)\| \leq O(k^{-1})$$ y se puede integrar una función oscilante que decae de esa manera .

Del mismo modo, la expansión de Fourier que derivó para$\delta'$tiene sentido después de multiplicarlo en frecuencia con la expansión de una función continuamente diferenciable, porque eso decae en$O(k^{-2})$y por lo tanto

$$\bigl(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\:\delta(x-x')\bigr)\:f(x) \propto \left.\left[\frac{-k\cdot e^{-ik(x-x')}}{x-x'}\cdot O(k^{-2})\right]\right|_{-\infty}^\infty + \ldots$$ y aquí$k\cdot O(k^{-2})$da algo en$O(k^{-1})$, que por lo tanto desaparece en el infinito, lo que significa que su derivación es correcta.