Función de correlación de dos tiempos calculada a partir de la regla Born

Question

Función de correlación de dos tiempos calculada a partir de la regla Born

Física
regla de nacimiento
evolución del tiempo
mecánica cuántica
problema de medicion
funciones de correlación

Jagerber48

Actualizar a continuación

Tengo dificultades para reconciliar dos cálculos diferentes de la función de correlación cuántica de dos tiempos. Considere el operador cuántico $A$ con vectores propios $\{|\phi_i\rangle\}$ y valores propios correspondientes $\{a_i\}$ . El sistema comienza en el estado $|\psi\rangle$ y este es el estado para el que se calcula la función de correlación de dos tiempos. Hay un operador de evolución temporal y tenemos

\begin{aligned} | ψ (t) ⟩ & = tu (t) | ψ (0) ⟩ = tu (t) | ψ ⟩ \\ A (t) & = {tu}^{†} (t) A (0) tu (t) = {tu}^{†} (t) A tu (t) \end{aligned}

$\begin{align} |\psi(t)\rangle &= U(t)|\psi(0)\rangle = U(t)|\psi\rangle\\ A(t) &= U^{\dagger}(t)A(0)U(t) = U^{\dagger}(t)AU(t) \end{align}$

Primer cálculo, expansión directa de la expresión de Heisenberg para la función de correlación de dos tiempos:

\begin{aligned} ⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩ & = ⟨ ψ | {tu}^{†} (t_{1}) A tu (t_{1}) {tu}^{†} (t_{2}) A tu (t_{2}) | ψ ⟩ \\ = \sum_{i, j} a_{i} a_{j} ⟨ ψ | {tu}^{†} (t_{1}) | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} | tu (t_{1}) {tu}^{†} (t_{2}) | ϕ_{j} ⟩ ⟨ ϕ_{j} | tu (t_{2}) | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle A(t_1)A(t_2)\rangle &= \langle \psi|U^{\dagger}(t_1)AU(t_1)U^{\dagger}(t_2)AU(t_2)|\psi\rangle\\ &= \sum_{i,j}a_ia_j\langle\psi|U^{\dagger}(t_1)|\phi_i\rangle\langle\phi_i|U(t_1)U^{\dagger}(t_2)|\phi_j\rangle \langle\phi_j|U(t_2)|\psi\rangle \end{align}$

Segundo cálculo, aplicaciones de regla nata/reducción de estado y evolución unitaria:

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩ = \sum_{i, j} a_{i} a_{j} (⟨ ψ | {tu}^{†} (t_{1}) | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} | tu (t_{1}) | ψ ⟩) (⟨ ϕ_{i} | tu (t_{1}) {tu}^{†} (t_{2}) | ϕ_{j} ⟩ ⟨ ϕ_{j} | tu (t_{2}) {tu}^{†} (t_{1}) | ϕ_{i} ⟩)

$\langle A(t_1)A(t_2) \rangle = \sum_{i,j} a_i a_j \left(\langle\psi|U^{\dagger}(t_1)|\phi_i\rangle \langle \phi_i|U(t_1)|\psi\rangle \right)\left(\langle\phi_i|U(t_1)U^{\dagger}(t_2)|\phi_j\rangle\langle\phi_j|U(t_2)U^{\dagger}(t_1)|\phi_i\rangle\right)$

Aquí el término dentro del primer paréntesis es la probabilidad de encontrar el estado después del tiempo $t_1$ , $\psi(t_1)$ , estar en estado $|\phi_i\rangle$ con valor propio $a_i$ . El segundo término supone que la reducción de estado ocurrió en el momento $t_1$ con $|\psi(t_1)\rangle \rightarrow |\phi_i\rangle$ Luego presento la evolución Unitaria en este nuevo estado desde el tiempo $t_1$ al tiempo $t_2$ y luego calcule la probabilidad para este nuevo estado, $|\phi_i(t_2-t_1)\rangle$ encontrarse en estado $|\phi_j\rangle$ con valor propio $a_j$ .

Para que estas dos expresiones sean iguales podemos ver que necesitaríamos

⟨ ϕ_{j} | tu (t_{2}) | ψ ⟩ = ⟨ ϕ_{i} | tu (t_{1}) | ψ ⟩ ⟨ ϕ_{j} | tu (t_{2}) {tu}^{†} (t_{1}) | ϕ_{i} ⟩

$\langle\phi_j|U(t_2)|\psi\rangle = \langle\phi_i|U(t_1)|\psi\rangle\langle\phi_j|U(t_2)U^{\dagger}(t_1)|\phi_i\rangle$

podemos definir

\begin{aligned} | X ⟩ & = | ψ ⟩ \\ | y ⟩ & = {tu}^{†} (t_{2}) | ϕ_{j} ⟩ \\ | z ⟩ & = {tu}^{†} (t_{1}) | ϕ_{i} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle &= |\psi\rangle\\ |y\rangle &= U^{\dagger}(t_2)|\phi_j\rangle\\ |z\rangle &= U^{\dagger}(t_1)|\phi_i\rangle \end{align}$

Y vemos que la condición es

⟨ y | X ⟩ = ⟨ z | X ⟩ ⟨ y | z ⟩ = ⟨ y | z ⟩ ⟨ z | X ⟩

Esto parece algo que podría ser cierto, pero no creo que lo sea, excepto en escenarios especiales.

Esto me parece un cálculo bastante simple, así que debo haber cometido un error muy obvio o me estoy perdiendo algo fundamental.

Actualizar

Se señaló en los comentarios que mi segunda expresión (la que involucra la regla de Born) es manifiestamente real. La mayoría de las definiciones que he visto en la literatura son consistentes con la idea de que $\langle A(t_1) A(t_2) \rangle$ puede ser una cantidad compleja si $A(t_1)A(t_2)$ no es un operador hermitiano. Esto significa que la línea de razonamiento que tomé para llegar a la segunda fórmula debe ser incorrecta.

Mi pregunta actualizada entonces es ¿cómo puedo usar las aplicaciones de la regla de Born y la evolución unitaria para derivar $\langle A(t_1)A(t_2) \rangle$ ?

marca mitchison

Pista: para Hermitian

A

$A$ , la expresión 2 es manifiestamente real (producto de probabilidades positivas y valores propios reales). ¿Cuál es el complejo conjugado de

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩

$\langle A(t_1) A(t_2)\rangle$ ?

Jagerber48

Bien, buena pista. Hablando en general

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩^{*} = ⟨ A (t_{2}) A (t_{1}) ⟩ \neq ⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩

$\langle A(t_1)A(t_2)\rangle^* = \langle A(t_2)A(t_1)\rangle \neq \langle A(t_1) A(t_2) \rangle$ Como señala, la segunda expresión que he dado que involucra la reducción de estado es manifiestamente real, por lo que no debe ser un cálculo correcto de

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩

$\langle A(t_1)A(t_2) \rangle$ . La pregunta que realmente tengo entonces, que motivó este cálculo, es si hay una manera de calcular la función de correlación de dos tiempos usando la regla Born como estoy tratando de hacer arriba.

Jagerber48

@MarkMitchison o quizás tengo mis definiciones al revés. Tal vez

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩

$\langle A(t_1)A(t_2)\rangle$ debe interpretarse como el resultado de una medición real, en cuyo caso debe ser real. En ese caso, sería la segunda expresión la correcta mientras que la primera es incorrecta. Luego, necesito trabajar en el primero para ver si puedo hacer que coincida con el segundo. Comprobando si el operador simétrico

\frac{1}{2} (A (t_{1}) A (t_{2}) + A (t_{2}) A (t_{1}))

$\frac{1}{2}\left(A(t_1)A(t_2) + A(t_2)A(t_1)\right)$ da un resultado interesante...

Jagerber48

@MarkMitchison Voy a decir todas las definiciones que he visto para

⟨ A (t_{1}) A (t_{2}) ⟩

$\langle A(t_1)A(t_2) \rangle$ son consistentes con que siendo, en general, una cantidad compleja. Por ejemplo, a menudo veré esto definido como

Tr (ρ A (t_{1}) A (t_{2}))

$\text{Tr}(\rho A(t_1) A(t_2))$ que bien podría ser complejo. Eso significa que creo que la segunda expresión es incorrecta. Mi nueva pregunta (todavía consistente con el título original) es cómo calcular esta función de correlación usando la regla de Born. Actualizaré el texto de la pregunta para reflejar esto y también lo pensaré por mi cuenta.

Respuestas (1)

Función de correlación de dos tiempos calculada a partir de la regla Born

Pista: para Hermitian $A$ , la expresión 2 es manifiestamente real (producto de probabilidades positivas y valores propios reales). ¿Cuál es el complejo conjugado de $\langle A(t_1) A(t_2)\rangle$ ?
Bien, buena pista. Hablando en general $\langle A(t_1)A(t_2)\rangle^* = \langle A(t_2)A(t_1)\rangle \neq \langle A(t_1) A(t_2) \rangle$ Como señala, la segunda expresión que he dado que involucra la reducción de estado es manifiestamente real, por lo que no debe ser un cálculo correcto de $\langle A(t_1)A(t_2) \rangle$ . La pregunta que realmente tengo entonces, que motivó este cálculo, es si hay una manera de calcular la función de correlación de dos tiempos usando la regla Born como estoy tratando de hacer arriba.
@MarkMitchison o quizás tengo mis definiciones al revés. Tal vez $\langle A(t_1)A(t_2)\rangle$ debe interpretarse como el resultado de una medición real, en cuyo caso debe ser real. En ese caso, sería la segunda expresión la correcta mientras que la primera es incorrecta. Luego, necesito trabajar en el primero para ver si puedo hacer que coincida con el segundo. Comprobando si el operador simétrico $\frac{1}{2}\left(A(t_1)A(t_2) + A(t_2)A(t_1)\right)$ da un resultado interesante...
@MarkMitchison Voy a decir todas las definiciones que he visto para $\langle A(t_1)A(t_2) \rangle$ son consistentes con que siendo, en general, una cantidad compleja. Por ejemplo, a menudo veré esto definido como $\text{Tr}(\rho A(t_1) A(t_2))$ que bien podría ser complejo. Eso significa que creo que la segunda expresión es incorrecta. Mi nueva pregunta (todavía consistente con el título original) es cómo calcular esta función de correlación usando la regla de Born. Actualizaré el texto de la pregunta para reflejar esto y también lo pensaré por mi cuenta.

marca mitchison · Answer 1

Las funciones de correlación de dos puntos aparecen en varios contextos de la física cuántica, pero no necesariamente se corresponden directamente con los promedios obtenidos a partir de mediciones de dos puntos. Como se señaló en los comentarios, tales funciones de correlación son en general complejas, ya que $\langle A(t')A(t)\rangle^* = \langle A(t) A(t')\rangle \neq \langle A(t')A(t)\rangle$ a menos que $A(t)$ viaja con $A(t')$ para todos $t,t'$ .

Según tengo entendido, el OP se trata de una medición de dos puntos en la que, a partir de un estado puro inicial $\lvert \psi\rangle$ experimentando una evolución temporal homogénea bajo el régimen unitario $U(t)$ , el observable $A$ se mide a veces $t$ y $t'>t$ . Deje que las variables aleatorias $\alpha_{1,2}\in \{a_j\}$ denotan los resultados de la primera y segunda medición, donde $\{a_j\}$ son los valores propios de $A$ . Entonces el producto promedio de los resultados de la medición es

\bar{α_{1} α_{2}} = \sum_{j, k} pag (a_{j}, t^{'}; a_{k}, t) a_{j} a_{k} .

$\overline{\alpha_1 \alpha_2} = \sum_{j,k} p(a_j,t'; a_k,t) a_ja_k.$ La probabilidad conjunta sobre los resultados de la medición es, utilizando la regla de Bayes,

pag (a_{j}, t^{'}; a_{k}, t) = pag (a_{j}, t^{'} | a_{k}, t) \times pag (a_{j}, t) = | ⟨ a_{j} | tu (t^{'} - t) | a_{k} ⟩ |^{2} \times | ⟨ a_{k} | tu (t) | ψ ⟩ |^{2},

A | a_{k} ⟩ = a_{k} | a_{k} ⟩ .

$A\lvert a_k\rangle = a_k\lvert a_k\rangle.$ Después de varias manipulaciones esto se puede expresar como

pag (a_{j}, t^{'}; a_{k}, t) = ⟨ ψ | Π_{k} (t) Π_{j} (t^{'}) Π_{k} (t) | ψ ⟩,

$p(a_j,t';a_k,t) = \langle \psi \lvert \Pi_k(t) \Pi_j(t') \Pi_k(t) \rvert \psi\rangle,$ dónde

Π_{j} (t) = U^{†} (t) | a_{j} ⟩ ⟨ a_{j} | U (t)

$\Pi_j(t) = U^\dagger(t)\lvert a_j\rangle \langle a_j\rvert U(t)$ . Por otro lado, el correlador cuántico viene dado por

⟨ A (t^{'}) A (t) ⟩ = \sum_{j, k} a_{j} a_{k} ⟨ ψ | Π_{j} (t^{'}) Π_{k} (t) | ψ ⟩ .

$\langle A(t')A(t)\rangle = \sum_{j,k}a_ja_k \langle \psi\lvert \Pi_j(t')\Pi_k(t)\rvert \psi\rangle.$ La diferencia entre las dos cantidades se puede escribir como

⟨ A (t^{'}) A (t) ⟩ - \bar{α_{1} α_{2}} = \sum_{k} a_{k} ⟨ ψ | (1 - Π_{k} (t)) [A (t^{'}), Π_{k} (t)] | ψ ⟩ .

$\langle A(t')A(t)\rangle - \overline{\alpha_1 \alpha_2} = \sum_{k}a_k \langle \psi\lvert\left(\mathbb{1}-\Pi_k(t)\right) [A(t'),\Pi_k(t)]\rvert \psi\rangle.$ Esta diferencia es un número complejo que refleja, en cierto sentido, hasta qué punto la primera medición en

t

$t$ perturba el resultado de la segunda medición en

t^{'}

$t'$ . Los términos individuales en la suma sólo desaparecen si

$A(t')$ viaja con el proyector $\Pi_k(t)$ (para que estos sean observables compatibles), o
$U(t)\lvert \psi\rangle = \lvert a_k\rangle$ (por lo que la primera medición no cambia el estado en absoluto), o
$a_k=0$ (por lo que este valor propio trivialmente no contribuye a ninguno de los promedios).

Por supuesto, varios términos distintos de cero en la suma pueden conspirar para cancelarse mutuamente a cero.

En general, sin embargo, concluimos que

⟨ A (t^{'}) A (t) ⟩ \neq \bar{α_{1} α_{2}} .

$\langle A(t')A(t)\rangle \neq \overline{\alpha_1\alpha_2}.$

Creo que esto hace un buen trabajo al responder la pregunta en el OP. Todavía tengo dos preguntas pendientes que mencionaré aquí, pero que probablemente sea mejor dejarlas para nuevas preguntas independientes en este sitio. Las preguntas son 1) sobre la posibilidad de escribir una medición de dos tiempos (donde una medición se realiza en medio de la evolución) como una sola medición al final de toda la evolución y 2) comprender la teoría de la medición mientras se trabaja en el cuadro de Heisenberg.
@jgerber comentario sobre 1). Puede pensar en la medición de dos tiempos como una sola medición, pero luego se encuentra en el tema de la teoría de la medición continua. Esto implica pensar en el sistema como un sistema cuántico abierto que luego se describe mediante la forma abierta de la ecuación de Schrödinger llamada ecuación de Lindblad. Esta ya no es una ecuación diferencial determinista sino una ecuación estocástica. Para resolverlo, debe ingresar manualmente el resultado que obtiene después de la primera medición. Detrás de todo esto está la idea de que la medición implica interactuar con el entorno, por lo tanto, un sistema abierto.
@BruceGreetham Gracias por tu comentario. De hecho, esta pregunta fue motivada por mi intento de conciliar la descripción dada para la medición en la teoría de la medición continua (que se basa en muchos colapsos repetidos de la función de onda y evoluciones unitarias) con un enfoque en el que se considera que el sistema evoluciona unitariamente y solo una medición única. se hace al final.
@jgerber sí, he estado en ese agujero de conejo; eventualmente encuentra que todo es consistente y, sin embargo, aún no encuentra una resolución definitiva del problema de medición, por lo que es cuando comienza a contemplar MWI. Algún día espero averiguar cómo plantear una pregunta adecuada sobre esto. Te lo haré saber si tengo éxito.

Función de correlación de dos tiempos calculada a partir de la regla Born

Jagerber48

marca mitchison

Jagerber48

Jagerber48

Jagerber48

Respuestas (1)

marca mitchison

Jagerber48

isometria

Jagerber48

isometria

Diferentes postulados e interpretaciones estadísticas de la mecánica cuántica

¿Cómo es consistente la regla de Born con la evolución unitaria?

¿Tiene |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2 algún significado?

Sobre la regla de Born

¿Cambia la medición la evolución de la función de onda?

¿Cómo entender el núcleo como una amplitud de transición?

Regla de Born y ecuación de Schrödinger

¿Cuáles son las objeciones más fuertes que se pueden hacer contra la decoherencia como explicación del "colapso"?

¿Cuál es el significado físico de excitar una transición de un solo electrón en un sistema de muchos electrones?

¿Por qué la conmutatividad significa que dos observables se pueden medir juntos?