Regla de Born y ecuación de Schrödinger

De hecho, en la mecánica cuántica no relativista, la ecuación de evolución del estado cuántico está dada por la ecuación de Schrödinger y la medición del estado de una partícula es en sí misma un proceso físico y, por lo tanto, debe y de hecho se rige por la ecuación de Schrödinger.

De hecho, a la gente le gusta predecir probabilidades usando la regla de Born, y algunas veces lo hacen correctamente y otras incorrectamente.

¿Usamos la regla de Born solo porque se vuelve matemáticamente engorroso dar cuenta de todos los grados de libertad usando la ecuación de Schrödinger?

Si y no. De hecho, a veces puede simplemente usar la regla de Born para obtener la misma respuesta que la respuesta correcta que obtiene al usar la regla de Schrödinger. Y cuando puede hacer eso, a menudo es mucho más fácil tanto computacionalmente como por razones subjetivas. Sin embargo, esa no es la razón por la que las personas usan la regla de Born, la usan porque tienen problemas para saber cómo relacionar los resultados experimentales con las funciones de onda. Y la regla Born hace exactamente eso. Le asignas una función de onda y, a partir de ella, calculas algo que sabes cómo comparar con el laboratorio. Y es por eso que la gente lo usa. No la conveniencia computacional.

¿Es posible derivar la regla de Born utilizando la ecuación de Schrödinger?

Sí, pero para hacerlo, debe superar la razón exacta por la que las personas usan la regla Born. Todo lo que hace la ecuación de Schrödinger es decirnos cómo evolucionan las funciones de onda. No te dice cómo relacionar eso con los resultados experimentales. Cuando una persona aprende a hacer eso, puede ver que el trabajo realizado por la regla de Born ya lo ha hecho la evolución unitaria de Schrödinger.

¿Cómo se implican las observaciones probabilísticas en la evolución causal de la función de onda?

La respuesta es tan simple que parecerá obvia. Solo piense en cómo lo verifica en el laboratorio, y luego escriba el sistema apropiado que modela la configuración real del laboratorio, luego configure el Schrödinger para ese sistema.

Para la regla de Born, usa una función de onda para una copia de un sistema, luego elige un operador y luego obtiene un número entre cero y uno (que interpreta como frecuencia relativa si hizo muchos experimentos en muchas copias de ese sistema) ). Y obtiene un número para cada valor propio de una manera que depende de la función de onda para una copia de un sistema, aunque verifique este resultado tomando una colección completa de partículas preparadas de manera idéntica.

Así que eso es lo que la regla Born hace por ti. Te informa sobre la frecuencia relativa de diferentes valores propios para un montón de sistemas preparados de forma idéntica, y entonces lo verificas haciendo un montón de sistemas preparados de forma idéntica y midiendo la frecuencia relativa de diferentes valores propios.

Entonces, ¿cómo haces esto con la ecuación de Schrödinger? Dado el estado y el operador en cuestión, encuentra el hamiltoniano que describe la evolución correspondiente a una medición del operador (como ejemplo, mi otra respuesta a esta pregunta cita un ejemplo en el que le dicen explícitamente que el hamiltoniano mide el giro de una partícula) . Luego, también escribe el hamiltoniano para el dispositivo que puede contar cuántas veces se produjo una partícula, y el dispositivo que anota el hamiltoniano para el dispositivo que puede contar cuántas veces se detectó una partícula con un resultado particular, y el dispositivo que toma la proporción. Luego escribe la ecuación de Schrödinger para un sistema de función de onda factorizado que tiene una gran cantidad de factores que son funciones de onda idénticas, y también donde hay un número suficiente de dispositivos para dividir diferentes funciones propias del operador en cuestión y el dispositivo que cuenta el número de resultados. Luego evoluciona la función de onda de todo el sistema de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Cuando 1) el número de factores idénticos es grande y 2) los dispositivos que envían diferentes funciones propias a diferentes caminos hacen que las funciones propias evolucionadas sean mutuamente ortogonales, entonces algo sucede. La parte de la función de onda que describe el estado del dispositivo que tomó la proporción de cuántos obtuvieron un valor propio particular evoluciona para tener casi todos sus Cuando 1) el número de factores idénticos es grande y 2) los dispositivos que envían diferentes funciones propias a diferentes caminos hacen que las funciones propias evolucionadas sean mutuamente ortogonales, entonces algo sucede. La parte de la función de onda que describe el estado del dispositivo que tomó la proporción de cuántos obtuvieron un valor propio particular evoluciona para tener casi todos sus Cuando 1) el número de factores idénticos es grande y 2) los dispositivos que envían diferentes funciones propias a diferentes caminos hacen que las funciones propias evolucionadas sean mutuamente ortogonales, entonces algo sucede. La parte de la función de onda que describe el estado del dispositivo que tomó la proporción de cuántos obtuvieron un valor propio particular evoluciona para tener casi todos sus$L^2$norma concentrada sobre un estado correspondiente a la proporción que predice la regla de Born y es casi ortogonal a las partes correspondientes a estados que la regla de Born no predijo.

Algunas personas aplicarán la regla Born a este estado del agregador, pero luego fallará. Estamos casi alli. Excepto que todo lo que tenemos es una función de onda con la mayoría de sus$L^2$norma concentrada en una región con un estado fácilmente descriptible. La regla de Born nos dice que podemos esperar subjetivamente experimentar personalmente este resultado agregado, la regla de Born dice que esto sucede casi con certeza ya que casi todos los$L^2$norma corresponde a este estado del agregador. La ecuación de Schrödinger por sí sola no nos dice esto.

Pero tuvimos que interpretar la regla de Born diciendo que esos números entre 0 y 1 corresponden a frecuencias observadas. ¿Cómo podemos interpretar que "la función de onda está altamente concentrada sobre un estado con un agregador leyendo ese mismo número" como correspondiente a una observación?

Este es literalmente el problema de la pregunta, interpretar un resultado matemático sobre una función de onda matemática como si fuera sobre observaciones.

La respuesta es que nosotros y todo lo demás estamos descritos por la dinámica de una función de onda, y que una parte de una onda con pequeñas$L^2$norma que es casi completamente ortogonal no afecta realmente la dinámica del resto de la ola. Somos la dinámica. Las personas son procesos, procesos dinámicos de subsistemas. Somos como el agregador en el sentido de que solo somos sensibles a algunos aspectos de algunas partes del resto de la función de onda. Y somos robustos porque somos sistemas que pueden actuar y evolucionar en el tiempo de maneras que pueden ser insensibles a pequeñas desviaciones en nuestras entradas, por lo que la parte de la función de onda que corresponde al agregador que tiene la mayor parte de la$L^2$norma concentrada en tener el valor predicho por la regla de Born (y ese estado con esa concentración en ese valor es lo que predice la ecuación de Schrödinger) es algo que puede interactuar con nosotros, el sistema robusto de procesamiento de información que también evoluciona según la ecuación de Schrödinger interactúa con nosotros de la misma manera que un estado donde todos los$L^2$la norma estaba en ese estado, no solo en la mayor parte.

Esta correlación dinámica entre el estado del sistema (el agregador) y nosotros, la interacción de los dos, es exactamente lo que es la observación. Tienes que usar la ecuación de Schrödinger para describir qué es una observación para usar la ecuación de Schrödinger para predecir el resultado de una observación. Pero solo necesita hacer eso en estados muy, muy cercanos para obtener la regla de Born, ya que la regla de Born solo predice los resultados de la respuesta de un agregador a un gran número de sistemas idénticos. Y esos estados son exactamente los que podemos dar una definición puramente operativa en términos de la ecuación de Schrödinger.

Simplemente decimos que la ecuación de Schrödinger describe la dinámica, incluida la dinámica de nosotros, las cosas que se "miden" y todo el universo. La forma en que funciona una medición es que tiene un hamiltoniano que actúa en su subsistema$|\Psi_i\rangle$y todo tu universo$|\Psi_i\rangle\otimes |U\rangle$y lo evoluciona como:

Los aspectos esenciales de que sea una medida es que cuando$|\Psi_i\rangle$y$|\Psi_j\rangle$están en diferentes espacios propios, son originalmente ortogonales, pero esa ortogonalidad se transfiere a$|U_i\rangle$y$|U_i\rangle$de tal manera que asegure las evoluciones de evolución temporal de Schrödinger de$|\Psi_i'\rangle\otimes |U_i\rangle$permanecer ortogonal. (Y también necesitamos eso$|\Psi_i'\rangle$todavía está en el espacio propio). Esa es nuestra restricción sobre los hamiltonianos que se usan en el Schrödinger real.

¿Cuál es el problema?

El problema es que teníamos que decir cómo relacionarnos con un objeto matemático y dónde entraban las palabras de probabilidad. Y no hay ninguna probabilidad. Solo tenemos proporciones que se parecen a las proporciones que la probabilidad nos predeciría si hubiera probabilidades. Y tenemos que mencionar cómo nuestras observaciones y experiencias se relacionan con las matemáticas.

Históricamente, hubo fuertes objeciones a esto, que hablar sobre cómo evolucionan dinámicamente las personas humanas no debería ser relevante para la física. Parece que la Filosofía desvanecería las objeciones pasadas de moda. Pero si piensas en las personas como procesadores de información dinámicos, podemos caracterizarlos como cierto tipo de computadora que interactúa con la función de onda del resto del mundo de una manera particular. Y son posibles otros tipos de computadoras, cosas que llamamos computadoras cuánticas. Y ahora ya no podemos hacer esta excusa. Necesitamos hablar sobre la diferencia entre una computadora clásica que está diseñada para ser robusta contra pequeños efectos cuánticos, y una que puede ser sensible a estos efectos para que pueda continuar interactuando antes de que haya llegado al punto de la evolución donde el Podría usarse la regla de nacimiento.

Ahora debemos admitir el hecho de que la evolución de la ecuación de Schrödinger es la única que hemos visto, y eso es lo que corresponde a lo que realmente observamos en los experimentos de laboratorio donde se usa la regla de Born. Y debemos reconocerlo para que podamos describir correctamente lo que sucede en los experimentos en los que no se aplica la regla de Born, donde, como siempre, debemos usar la ecuación de Schrödinger.

Hay una interpretación diferente de la ecuación de Schroedinger que la de la regla de Born o la interpretación de Copenhague.

Se llama mecánica de Bohm, teoría de deBroglie-Bohm o teoría de la onda piloto. La idea general es establecer la función de onda como$\Psi(t, \vec{x}) = R(t,\vec{x}) \cdot \exp(i\ \frac{S(t,\vec{x})}{\hbar})$, que no es ninguna restricción. Insertando esto en la ecuación de Schroedinger se obtienen dos ecuaciones de la parte real e imaginaria. Uno de ellos es una ecuación de conservación para una nueva densidad de carga$R^2$. La otra es la clásica ecuación de Hamilton-Jacobi con un potencial extra. La acción se toma para ser$S$. El nuevo potencial se origina a partir de la densidad de carga$R^2$.

Si luego se aplica la mecánica estadística a esta teoría clásica, se ve que los valores esperados de una cantidad física$Q(\vec{x})$son los mismos que en la teoría cuántica, a saber$<\Psi|Q|\Psi> = \int_\infty^\infty \Psi(t, \vec{x}) \ \ Q(\vec{x}) \ \ \Psi^*(t, \vec{x})\ \ d^3x$.

De manera similar, se puede interpretar la regla de Born como la consecuencia de la mecánica estadística clásica con una ley de fuerza extra para la nueva carga$R^2$.

Si desea profundizar en esto, le sugiero que lea los documentos originales:

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.85.166

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.85.180

Primero describiré el (para mí) ejemplo más limpio y claro, luego lo ampliaremos.

Tiene un paquete de ondas que, además de un campo escalar complejo, también especifica en cada punto un vector/plano de giro. Como queremos describir una medida necesitamos un hamiltoniano que describa la interacción con el dispositivo y el sistema, en nuestro caso el dispositivo es un dispositivo de Stern-Gerlach, entonces el hamiltoniano de interacción es el hamiltoniano que depende del momento magnético (proporcional al vector de espín ortogonal al plano de espín) y la falta de homogeneidad del campo magnético externo. Cuando el vector de espín apunta en la dirección z, todo el paquete se desvía hacia la izquierda. Cuando el vector de giro apunta en la dirección negativa exacta (dirección z negativa), todo el paquete se desvía hacia la derecha. Cuando el vector de espín apunta en otras direcciones, parte del paquete se desvía hacia la derecha y parte hacia la izquierda y el vector de espín se polariza en la dirección en que se fue esa parte del paquete de ondas. El tamaño de los dos paquetes está completamente influenciado por cuánto se puede escribir ese vector de espín como una combinación de los estados básicos de espín (configúrelo de modo que cuando el vector de espín apunte en una dirección$(x,y,z)$el estado de espín es propio de$x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z$con valor propio 1, por lo que para la dirección$(x,y,z)$tomar el vector propio$(a,b)$de$x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z$con valor propio 1 y luego$|a|^2:|b|^2$es la proporción de los tamaños de los paquetes de ondas). Todo esto está predicho por la ecuación de Schrödinger. Vea este bonito artículo en el American Journal of Physics , (versión arxiv) .

Si configuramos nuestros procesos para que esos dos paquetes de ondas nunca más se crucen e interfieran (por ejemplo, por la llamada decoherencia con el entorno), entonces se produce una notable simplificación. Por linealidad cada una actúa por sí sola, y debido a que nunca más se superponen, la suma de la integral del cuadrado de las funciones de onda es igual a la integral del cuadrado de la suma de las funciones de onda, esta es una propiedad de las funciones ortogonales, y son siempre ortogonales. Así que cada uno puede actuar matemáticamente como si el otro no existiera, y todo el universo es una combinación de esta parte y el resto del universo, así que todo el universo es ahora y para siempre la suma de dos partes ortogonales. Matemáticamente cada uno puede actuar como si el otro no existiera. Y si queremos usar la función de onda para hacer nuestras predicciones, nuestras predicciones pueden actuar como si la otra opción (otro paquete de ondas) no existiera. En este punto (o en cualquier punto posterior) puede fingir que ocurrió un colapso y nadie puede contradecirlo porque cada posibilidad ahora actúa como si fuera lo único que sucedió.

ESTÁ BIEN. Así que eso es lo que está sucediendo matemáticamente. ¿Qué pasa cuando hacemos el experimento? Somos parte del universo y la función de onda de todo se puede escribir como la suma de cada paquete de ondas ortogonales. Cada uno actuando como si el otro no existiera, por lo que tenemos el potencial de ser algo que interactúa con un paquete de ondas u otro, de modo que podemos interactuar con la ola como si fuera una que se fue hacia la izquierda o una que se fue hacia la derecha. Así que podemos hablar de ello como si fuera de una forma u otra. Así que podemos hacer eso una y otra vez.

Subjetivamente (es decir, experimentalmente) notamos muy a menudo que la proporción de veces que vimos resultados particulares es muy cercana a ser proporcional a la integral de la longitud al cuadrado del paquete de ondas. (Con una desviación consistente con el ruido experimental y los tipos de efectos observados cada vez que se toma una muestra pequeña, en lugar de una grande, de una distribución de probabilidad).

Born trabajó con el razonamiento sobre la dispersión (en ángulos) en lugar de izquierda versus derecha, pero en realidad es lo mismo.

Podrías dejarlo así. Las matemáticas de la ecuación de Schrödinger predicen la ramificación del paquete de ondas en partes ortogonales, y predicen varias proporciones de la integral de la longitud al cuadrado y podría optar por decir solo que esas proporciones coinciden con las frecuencias relativas observadas. O puede intentar ir más lejos (como lo hace la regla de Born) e intentar decir que la longitud al cuadrado es una densidad de probabilidad real. Si haces eso, hay algunos problemas serios.

Número uno, está asignando probabilidades no a resultados experimentales reales, sino densidades de probabilidad a regiones de espacio y tiempo en las que no se está realizando ninguna acción experimental (no podemos decir que ha ocurrido una observación hasta que la función de onda desarrolle partes ortogonales que siempre ser ortogonal para siempre, antes de eso todo lo que hace la función de onda es evolucionar). Esto es narración, no ciencia. Lo cual está bien siempre y cuando no pretenda ser ciencia. Sin embargo, hay un problema con la narración. Como se explica en Causas perdidas en físicapor RF Streater, si asume un espacio de muestra (la base matemática de la teoría matemática de la probabilidad), entonces no puede manejar variables aleatorias para observables que no viajan. Si selecciona experimentos reales para hacer, puede seleccionar un álgebra de conmutación máxima de observables y luego hacer un espacio de muestra y luego obtener una teoría de probabilidad. Pero una vez que haya hecho eso, obtendrá una ramificación real y regresará al caso especial. Entonces, la suposición implícita de que las probabilidades tienen sentido, incluso cuando se habla de una situación en la que las mediciones no se están realizando, en realidad es completamente errónea porque una probabilidad requiere un espacio muestral y es prematuro tener una teoría de la probabilidad (al menos en la forma en que los matemáticos lo han hecho). , podríamos intentar hacer una teoría de la probabilidad totalmente nueva desde cero,

Así que en realidad es un error pensar en la longitud al cuadrado de la función de onda como una densidad de probabilidad. Sin embargo, está bien pensar en las integrales de los cuadrados de conjuntos de funciones de onda mutuamente ortogonales, y si son eternamente ortogonales, entonces pueden actuar como si estuvieran en un solo universo y las integrales relativas pueden ser frecuencias relativas. Y no solo pueden serlo, sino que eso realmente concuerda con las observaciones.

Se han propuesto derivaciones de la regla de Born, pero todas han sido criticadas por invocar un razonamiento circular como CuriosOne mencionó en los comentarios. Puede leer una reseña de los argumentos de Huw Price aquí . Zurek ha invocado el hecho de que, debido a la decoherencia, los observadores siempre están completamente entrelazados con el entorno y luego puedes razonar en función de ciertas simetrías a las que estarán sujetos los estados completamente entrelazados, consulta aquí para obtener más detalles . Pero al incorporar el entorno, está ocultando una forma circular de razonamiento.

Lo que se ha probado es una derivación de una declaración más débil que dice que si un sistema está en un estado propio de un observable, medir ese observable producirá el valor propio correspondiente a ese estado propio con certeza.

La prueba es bastante trivial, se sigue de considerar hacer N observaciones en N sistemas preparados idénticamente usando un dispositivo hipotético que permanece en coherencia cuántica. El estado del dispositivo contendrá toda la información de los resultados de la medición, incluido el tamaño de la desviación de la regla de Born. A continuación, puede construir un observable que corresponda a la medición de esta desviación. En el límite de N a infinito, puede mostrar que el estado del dispositivo convergerá al espacio nulo de ese observable. Por lo tanto, por el postulado más débil, se encuentra que se cumple la regla de Born.

Tu pregunta está mal concebida. La función de onda no colapsa. Más bien, cuando mide un sistema, sucede cada uno de los posibles resultados de esa medición. Cada resultado está asociado con una versión diferente del aparato de medición. Esas diferentes versiones del aparato de medición no pueden interactuar entre sí ni intercambiar información. La forma en que la función de onda se divide en diferentes versiones es el resultado del hecho de que la información solo se puede copiar de un sistema a otro si se instancia en un conjunto de proyectores mutuamente ortogonales:

http://arxiv.org/abs/1212.3245 .

La mecánica cuántica no es una teoría estocástica. La probabilidad de un resultado de medición no se refiere a las posibilidades de sacarlo de un sombrero. Más bien, la regla de Born es una medida sobre el conjunto de resultados de una medida que satisface las restricciones impuestas por la teoría de la decisión:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015 .

Si quisiera apostar por el resultado de un experimento de mecánica cuántica, la forma de hacerlo que le haría ganar dinero sería usar la regla de Born para calcular la cantidad que espera ganar.

De acuerdo con la Interpretación de muchos mundos, el dispositivo de medición y, por extensión, todos los que lo leen, se enredan con la partícula exactamente de la manera que predice la ecuación de Schrödinger. La regla de Born te dice cuán subjetivamente probable es que estés en un universo dado. Es básicamente un principio antrópico realmente extraño. Siéntase libre de interpretar eso como que MWI generalmente tiene razón, y algo que no tenemos suficiente información para adivinar explica la regla de Born usando antrópicos más sensibles.

Según la interpretación de Copenhague, cuando se enredan demasiadas partículas, la ecuación de Schrödinger deja de aplicarse momentáneamente y la forma de onda colapsa en uno de los estados posibles con la probabilidad especificada por la regla de Born.

La razón por la que la ecuación de Schrödinger y la regla de Born no parecen encajar bien es que no encajan bien.

Por lo tanto, debe regirse por la ecuación de Schrödinger.

La ecuación de Schroedinger es útil para la descripción de sistemas atómicos. La medición de tales sistemas involucra cuerpos macroscópicos. Está fuera de lugar aplicar la ecuación de Schroedinger a estos cuerpos macroscópicos; la descripción clásica es más simple, más precisa y más útil. ¿Por qué describiría la posición de una aguja en un amperímetro mediante una función compleja de un millón de variables, cuando todo lo que daría es densidad de probabilidad y, en la práctica, un número real, el ángulo, es suficiente?

Pero se vuelve matemáticamente engorroso, así que recurrimos a aproximaciones como la regla de Born.

La regla de Born no es una aproximación a algo más profundo. Fue propuesta por Born como una regla sencilla y esperanzadora para entender la$\psi$Schroedinger introdujo la función con sus ecuaciones. Born introdujo su regla para la descripción de experimentos de dispersión y luego se generalizó para ser la piedra angular de la interpretación de$\psi$en cualquier ecuación de Schroedinger. Da densidad de probabilidad en el espacio de configuración del sistema descrito por$\psi$. Sin la regla, la$\psi$la función sería simplemente un subproducto de los cálculos que buscan los valores propios hamiltonianos; con él, muchos fenómenos (oscilación de electrones...) pueden ser descritos probabilísticamente con$\psi$.

¿Cómo unimos el colapso probabilístico de Born con la evolución de la ecuación de Schrödinger?

La regla Born no implica ningún colapso. Cuando tenemos función de tres coordenadas$\psi(x,y,z)$para el electrón en el átomo de hidrógeno, la regla de Born dice$|\psi|^2$es la densidad de probabilidad para la posición de este electrón puntual.

El electrón es un punto, la función de onda no lo es. El electrón no es lo mismo que la función de onda que lo describe , así como el grano de polen no es la función gaussiana que se usa a menudo para describirlo.

La función de onda es una función matemática y se puede aplicar incluso a sistemas de muchas partículas, como la molécula de agua. Nuevamente, la molécula de agua no es una función de onda de muchas variables; el último describe la molécula de agua.

La función de onda nunca colapsa en un punto: no existe una función normalizable que se concentre en un punto. Eso no es un problema para la aplicabilidad de$\psi$, ya que ninguna medida de posición (configuración) es exacta; alguna inexactitud siempre está presente.

Entonces, lo apropiado después de registrar la posición es cambiar la función de onda a la mejor función compatible con la posición registrada, teniendo en cuenta la medida de incertidumbre con la que se caracteriza la medición.

Este procedimiento no es resultado de la ecuación de Schroedinger, porque utiliza el resultado de la medición e información sobre su precisión, que nunca está determinada por la ecuación de Schroedinger.

La ecuación de Schroedinger es limitada. No contiene relatividad y es meramente una descripción probabilística. No se puede utilizar para predecir los resultados de eventos reales; solo da probabilidades de resultados dadas probabilidades de condiciones iniciales. Es decir, cuando se utiliza según la regla de Born.