Fuerza entre dos dipolos puntuales

Pasar del campo a la fuerza será difícil, porque no se sabe a priori cómo reacciona un dipolo a un campo, sobre todo si el campo no es homogéneo. La forma de hacer esto es la misma que encuentra el campo para el primer dipolo: encuentre la fuerza neta en las dos cargas del segundo dipolo, y luego tome el límite a medida que su separación llega a cero (mientras mantiene la carga lo suficientemente grande como para que el momento dipolar es constante). De hecho, esto es bastante complicado, por lo que es mejor calcular la energía de interacción y luego encontrar la fuerza como el gradiente de esta energía.

Para hacer eso, comience con un punto dipolo con momento dipolar$\mathbf p$en el origen, lo que provoca un potencial electrostático de

$$V_\text{dip}=\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3},$$ entonces la energía potencial de una carga $q$en la posición $\mathbf r$es $$U_{q}=q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}.$$

Para hacer el segundo dipolo, comienza con una carga.$-q$en la posición$\mathbf r$y agregue una segunda carga$+q$en la posición$\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$. El momento dipolar del par es$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, y su energía de interacción con el primer dipolo es

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q\frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})}{\|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^3}.$$

Ahora viene el asunto complicado de tomar el límite$\Delta r\to 0$. Lo que lo complica es la presencia de$\Delta r$en el denominador, que debe tratarse mediante los dos primeros términos de una serie binomial:

$$\begin{align} \|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^{-3}&=\left(r^2+2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r +\Delta r^2\right)^{-3/2} \\& =\frac{1}{r^3}\left(1-\frac32 \times \frac{2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r}{r^2}+O\left(\frac{\Delta r^2}{r^2}\right)\right) \\& \approx\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}}, \end{align}$$ ignorando los términos cuadráticos. Poniendo esto en la energía de interacción, obtienes

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q(\mathbf p\cdot\mathbf r+\Delta r\,\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{n}})\left(\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}} \right)+O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Aquí los términos constantes se cancelan y te quedan dos términos lineales diferentes.

$$U_\text{fin. dip.}= \frac{(q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})\cdot\mathbf p}{r^3} -3\frac{1}{r^3}(q\Delta r\hat{\mathbf{n}})\cdot\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}} +O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Para tomar el límite, puedes notar que en los términos lineales permanece constante en el momento dipolar$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, así que se quedan como están. Los términos cuadráticos, por otro lado, tienen una carga que aumenta a medida que$q=p'/\Delta r$, pero su$\Delta r$la dependencia es más rápida y se reducen a cero. En el límite, entonces, la energía de interacción es

$$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p -3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}}) }{r^3} .$$

Para sentir la fuerza en el segundo dipolo, debe tomar el gradiente con respecto a$\mathbf r$, o repita este cálculo con la fuerza dipolar

$$\mathbf F_\text{dip}=-\nabla V_\text{dip}=-\frac{\mathbf p}{r^3}+3\frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{r^5} \mathbf r.$$ El primero es más simple, aunque es posible que desee utilizar el formulario $$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p }{r^3} -\frac{ 3(\mathbf p'\cdot{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot{\mathbf{r}}) }{r^5} .$$ Sin embargo, a menos que pueda reproducir completamente los pasos en mi cálculo, le recomiendo que lo repita con la fuerza y ​​​​verifique que ambos enfoques coincidan, o habrá algo que se está perdiendo.