¿Cuál es la fuerza sobre un dipolo en un campo eléctrico uniforme?

Para un dipolo eléctrico de momento dipolar pag → colocado en un campo eléctrico mi → experimenta una fuerza dada por

F → = − ∇ tu = − ∇ ( pag → ⋅ mi → ) = ( pag → ⋅ ∇ ) mi → .
Entonces F → = 0 si mi → es uniforme Pero si usamos F → = − 1 r ∂ tu ∂ θ θ ^ y tu = − pag mi porque ⁡ θ encontramos F → ≠ 0 . ¿A qué se debe esta contradicción?

Respuestas (1)

El ángulo θ que aparece en las coordenadas polares de la posición del dipolo no es lo mismo que el ángulo θ ′ entre la dirección del dipolo y la dirección del campo eléctrico. Cuando trasladas el dipolo en el espacio, θ cambios, pero θ ′ no es. Has combinado los dos.

Puede ser útil expresar la fuerza y ​​el par en forma vectorial. La energía de interacción es tu = − pag → ⋅ mi → y estamos tomando mi → ser uniforme en el espacio. Por lo tanto, esta expresión es independiente de la posición. r → . Podemos escribir la fuerza como

F → = − ∇ → r → tu
y expresarlo, si lo deseamos, en las coordenadas polares definidas mediante r → = ( r pecado ⁡ θ porque ⁡ ϕ , r pecado ⁡ θ pecado ⁡ ϕ , r porque ⁡ θ ) , pero para un campo uniforme, obtendremos F → = 0 → de cualquier manera, porque tu no tiene dependencia de r → .

Si escribimos el dipolo en términos de su magnitud y un vector unitario como este pag → = pag mi → , el par puede expresarse

τ → = − mi → × ∇ → mi → tu
donde cabe señalar que el gradiente es con respecto a las componentes del vector mi → , no r → . Para la forma dada de la energía, tu = − pag mi → ⋅ mi → esto se convierte
τ → = pag mi → × mi → = pag → × mi → .
Nuevamente, es posible escribir esto en coordenadas polares si lo deseamos. Necesitamos definir mi → = ( pecado ⁡ θ ′ porque ⁡ ϕ ′ , pecado ⁡ θ ′ pecado ⁡ ϕ ′ , porque ⁡ θ ′ ) , donde los ángulos θ ′ y ϕ ′ son los ángulos polares del dipolo, no lo mismo que θ y ϕ . si elegimos mi → señalar en el z dirección, entonces pag → ⋅ mi → = pag mi porque ⁡ θ ′ para que podamos escribir tu = − pag mi porque ⁡ θ ′ . No escribiré la derivación, pero no es demasiado complicada. Da el mismo resultado.

Puede haber algunas similitudes superficiales entre la expresión del momento de torsión en el dipolo, que actúa con respecto al centro del dipolo, y la fórmula comúnmente utilizada para el momento de torsión con respecto al origen producido por una fuerza F → actuando en un punto r → , a saber r → × F → . Esta última fórmula no es aplicable aquí: la fuerza F → es cero, y en cualquier caso la expresión r → × F → implicaría los ángulos polares θ y ϕ , no θ ′ y ϕ ′ . Se puede derivar una expresión para el momento de torsión escribiendo el dipolo como dos cargas en ± d mi → (dónde d es pequeña), evaluando la fuerza sobre cada carga y aplicando la fórmula ± d mi → × F → a ambos cargos. Esto da una fórmula de aspecto superficialmente similar a r → × F → , pero involucrando la orientación de mi → , no r → .

Pero si no distinguimos entre θ y θ ′ , la expresión del par se obtiene correctamente. ¿Por qué? Tenga en cuenta que al considerar r → × F → , obtengo la fórmula correcta para el par utilizando el segundo conjunto de ecuaciones.
El par se define en términos del gradiente con respecto a la orientación del dipolo, no a la posición. Por lo tanto, se expresa correctamente en términos de θ ′ , no θ , en mi notación.
He extendido mi respuesta, con suerte para aclarar más, en caso de que alguien más vea esto. La expresion r → × F → no es aplicable aquí: no es cómo se define el par en un dipolo. Se puede derivar una expresión para el momento de torsión escribiendo el dipolo como dos cargas en ± d mi → (dónde d es pequeña), evaluando la fuerza sobre cada carga y aplicando la fórmula ± d mi → × F → a ambos cargos. Es por eso que las fórmulas se ven similares. Espero que esto ayude.
¿Cuál es la fuerza sobre un dipolo en un campo eléctrico uniforme?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 4v