Frecuencias naturales de un filtro de paso de banda

Question

Frecuencias naturales de un filtro de paso de banda

Física
paso bajo
paso de banda
función de transferencia

Martín

Tengo la siguiente transformación de frecuencia utilizada para diseñar un prototipo de paso bajo a partir de una máscara de especificación de paso de banda:

ω = \frac{ω_{0}}{B} (\frac{ω^{'}}{ω_{0}} - \frac{ω_{0}}{ω^{'}})

$\omega=\frac{\omega_0}{B}\left(\frac{\omega'}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega'}\right)$ dónde

ω_{0}

$\omega_0$ y

B

$B$ son constantes,

ω

$\omega$ representa la frecuencia angular del filtro de paso bajo y

ω^{'}

$\omega'$ es la frecuencia angular del filtro de paso de banda. Dado que las funciones de transferencia de los filtros deben ser herméticas, la función se puede reducir a:

ω = \frac{ω_{0}}{B} | \frac{ω^{'}}{ω_{0}} - \frac{ω_{0}}{ω^{'}} |

$\omega=\frac{\omega_0}{B}\left|\frac{\omega'}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega'}\right|$

Dado que $\omega_0/B=2.45$ , me pregunto si al resolver para $\omega'$ la ecuación se puede reescribir así:

ω^{' 2} - \frac{ω_{0} ω}{2.45} ω^{'} - ω_{0}^{2} = 0

$\omega'^2-\frac{\omega_0\omega}{2.45}\omega'-\omega_0^2=0$ y desde aquí simplemente sustituya las frecuencias naturales del prototipo de paso bajo y obtenga las frecuencias naturales del filtro de paso de banda ya que he ignorado el valor absoluto para resolver

ω^{'}

$\omega'$ y no sé si eso puede ser importante a la hora de calcular el resultado.

LvW

Si es correcto. Tenga en cuenta que B es el ancho de banda en rad/seg. Por lo tanto: wo/B=Q).

Respuestas (2)

Frecuencias naturales de un filtro de paso de banda

Si es correcto. Tenga en cuenta que B es el ancho de banda en rad/seg. Por lo tanto: wo/B=Q).

Vicente Cunha · Answer 1

En caso de duda, trama! codigo matlab:

w_array = -10:1:10;
w0_array = -10:1:10;
wl_array_1 = zeros(length(w_array), length(w0_array));
wl_array_2 = zeros(length(w_array), length(w0_array));
syms wl

for i=1:length(w_array)
    w = w_array(i);
    for j=1:length(w0_array)
        w0 = w0_array(j);
        s1 = solve(wl^2 - w0*w*wl/2.45 - w0^2 == 0, wl, 'PrincipalValue', true);
        if isempty(s1)
            s1 = NaN;
        end
        wl_array_1(i,j) = double(s1);
        s2 = solve(w - 2.45*abs(wl/w0 - w0/wl) == 0, wl, 'PrincipalValue', true);
        if isempty(s2)
            s2 = NaN;
        end
        wl_array_2(i,j) = double(s2);
    end
end

figure(1)
for j=1:length(w0_array)
    plot(w_array,wl_array_1(:,j)), hold on
end
xlabel('\omega'), ylabel('\omega´'), xlim([-10,10]), ylim([-45,5])
title('Not considering the absolute in equation'), hold off,

figure(2)
for j=1:length(w0_array)
    plot(w_array,wl_array_2(:,j)), hold on
end
xlabel('\omega'), ylabel('\omega´'), xlim([-10,10]), ylim([-45,5])
title('Considering the absolute in equation'), hold off

Como puede verse, el absoluto asegura que las soluciones solo existen para valores positivos de $\omega$ y $\omega_0$ . Eliminando el absoluto, existen soluciones para negativos $\omega$ y $\omega_0$ . Ahora depende de usted decidir qué significa y si esto es importante.

un ciudadano preocupado · Answer 2

Por mi parte, me resulta más fácil hacerlo en Laplace:

s = \frac{s^{2} + ω_{0}^{2}}{B W s}

$s=\frac{s^2+\omega_0^2}{BW s}$

donde BW es el ancho de banda, y $\omega_0$ es la frecuencia central. Para una raíz real, $\Re$ :

\frac{s^{2} + ω_{0}^{2}}{B W s} + ℜ = 0 => s^{2} + B W ℜ s + ω_{0}^{2} = 0

$\frac{s^2+\omega_0^2}{BW s}+\Re=0 => s^2+BW \Re s + \omega_0^2=0$

Lo cual es fácil de resolver. Si la raíz es imaginaria pura:

\frac{s^{2} + w_{0}^{2}}{B W s} + j ℑ = 0 => s^{2} + j B W ℑ s + ω_{0}^{2} = 0

$\frac{s^2+w_0^2}{BW s}+j \Im=0=>s^2+j BW \Im s + \omega_0^2=0$

y si es complejo, $p=\Re+j \Im$ :

\frac{s^{2} + w_{0}^{2}}{B W s} + pag = 0 => s^{2} + B W pag s + ω_{0}^{2} = 0

$\frac{s^2+w_0^2}{BW s}+p=0=>s^2+BW p s + \omega_0^2=0$

Este es un poco más complicado de resolver, no imposible. Las raíces desnudas y complejas de la ecuación resultan como:

s = - \frac{B W pag}{2} \pm \sqrt{\frac{B W^{2} {pag}^{2} - 4 ω_{0}^{2}}{2}}

$s=-\frac{BW p}{2}\pm\sqrt{\frac{BW^2p^2-4\omega_0^2}{2}}$

y resolviendo por complejo, obtienes cuatro posibilidades, de las cuales eliges, como antes, solo las frecuencias positivas:

R mi a yo = B W^{2} (ℜ^{2} - ℑ^{2}) - 4 ω^{2}

$Real=BW^2(\Re^2-\Im^2)-4\omega^2$

I metro a gramo = 2 B W^{2} ℜ ℑ

$Imag=2BW^2\Re\Im$

METRO a gramo = \sqrt{R mi a {yo}^{2} + I metro a {gramo}^{2}}

$Mag=\sqrt{Real^2+Imag^2}$

Φ = \frac{1}{2} \sqrt{METRO a gramo} \frac{arcán 2 (I metro a gramo, R mi a yo)}{2}

$\Phi=\frac{1}{2}\sqrt{Mag}\frac{\arctan2(Imag, Real)}{2}$

s = \frac{1}{2} [- B W ℜ \pm \sqrt{METRO a gramo} porque (\frac{Φ}{2}) \pm j (\sqrt{METRO a gramo} pecado \frac{Φ}{2} \pm B W ℑ)]

$s=\frac{1}{2}\left[-BW\Re\pm\sqrt{Mag}\cos(\frac{\Phi}{2})\pm j\left(\sqrt{Mag}\sin\frac{\Phi}{2}\pm BW\Im\right)\right]$

Parece monstruoso, pero funciona.

Frecuencias naturales de un filtro de paso de banda

Martín

LvW

Respuestas (2)

Vicente Cunha

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