Formas globales de Chern-Simons y teorías de gauge topológicas

Como usted mismo dice, de hecho, cada conexión en un paquete está dada localmente por un álgebra de Lie valorada en 1 forma y, en general, solo localmente.

Digámoslo más detalladamente: para$X$cualquier múltiple, un$G$-la conexión principal es (en " Cech data "):

1. una elección de buena tapa abierta $\{U_i \to X\}$;

2. en cada parche un formulario 1$A_i \in \Omega^1(U_i)\otimes \mathfrak{g}$;

3. en cada intersección doble de parches una función de transformación de calibre$g_{i j} \in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$

tal que

1. en cada doble intersección$U_i \cap U_j$tenemos la ecuacion$A_j = g_{i j}^{-1} A g_{i j} + g_{i j}^{-1} \mathbf{d} g_{i j}$

2. en cada intersección triple$U_i \cap U_j \cap U_k$tenemos la ecuacion$g_{i j} g_{j k} = g_{i k}$.

Bien, ahora le gustaría formar un Chern-Simons 3-form... algo fuera de esto. Lo que obtiene inmediatamente de los datos anteriores es un montón de 3 formas diferenciales locales, una en cada parche:$CS(A_i) \in \Omega^3(U_i)$.

Para hacer que estas 3 formas se unan globalmente a lo que se llama una conexión de 3 formas , necesitamos los datos evidentes de una transformación de mayor calibre .

1. en cada parche tenemos la forma local de 3$CS(A_i)$;

2. en cada intersección doble debe haber una forma 2$B_{i j} \in \Omega^2(U_i \cap U_j)$qué calibre transforma las respectivas formas CS-3 entre sí, por$CS(A_j) = CS(A_i) + \mathbf{d} B_{i j}$;

3. en cada intersección triple debe haber una forma 1$\alpha_{i j k} \in \Omega^1(U_i \cap U_j \cap U_k)$que exhibe una transformación de calibre de segundo orden (" fantasmas de fantasmas "!) entre las transformaciones de calibre de primer orden, en ese$B_{i j} + B_{j k} = B_{i k} + \mathbf{d} \alpha_{ i j k}$

4. finalmente en cada intersección cuádruple debe haber una función suave$h_{i j k l} \in C^\infty(U_i \cap U_j \cap U_k \cap U_l, U(1))$qué calibre-de-calibre-de-calibre-transforma el calibre-de-calibre-se transforma uno en otro, en que$\alpha_{i j k} + \alpha_{i k l} = \alpha_{j k l} + \alpha_{i j l} + h_{i j k l}^{-1}\mathbf{d}h_{i j k l}$.

Esos son los datos que hacen que el formulario Chern-Simons 3 local se convierta en un campo de 3 formularios globalmente bien definido. (Por ejemplo, el campo C de supergravedad tiene esta forma, con algunos giros adicionales y campanas y silbidos agregados, como hemos discutido aquí ).

En lenguaje matemático, se dice que este tipo de datos de pegado de calibre de calibre de calibre local para la definición global de campos de forma superior es un "cociclo de grado 4 en la cohomología Cech-Deligne ". Estos son precisamente los datos correctos necesarios para tener una holonomía superior tridimensional bien definida como se necesita aquí para la definición, porque el funcional de acción de Chern-Simons no es más que la holonomía superior tridimensional de esta conexión de 3 formas.

Si puedes construirlo, eso es. De lo anterior, no es del todo obvio cómo construir los datos del cociclo de 3 formas$\{CS(A_i), B_{i j}, \alpha_{i j k}, h_{i j k}\}$de los datos de campo de indicador dados$\{A_i, g_{i j}\}$.

Pero esto se puede hacer. Para esto se descubrieron los caracteres diferenciales de Cheeger-Simons . Una construcción explícita que es muy natural para la aplicación a la teoría de Chern-Simons que hemos dado en

• Fiorenza, Schreiber, Stasheff, Cech cociclos para clases de características diferenciales , avances en física teórica y matemática, volumen 16, número 1 (2012) ( arXiv: 1011.4735 , web )

En base a esto, brindamos una introducción detallada y una discusión sobre los funcionales de acción de Chern-Simons para situaciones globalmente no triviales como la anterior en

• Fiorenza, Sati, Schreiber, Una perspectiva apilada superior sobre la teoría de Chern-Simons ( arXiv:1301.2580 , web )

Ese artículo proporciona las fórmulas locales que se aplican generalmente, discute las simplificaciones que ocurren cuando se puede suponer que la variedad 3 es acotante, analiza qué sucede si no, y luego explora varias otras propiedades de la teoría de Chern-Simons definida globalmente, como cómo para acoplar las líneas de Wilson a la historia anterior. Si solo miras la primera parte, creo que deberías encontrar lo que necesitas.

editar: en los comentarios a continuación, surgió la pregunta de por qué no se necesita una discusión similar al escribir el funcional de acción de Yang-Mills, cuyo Lagrangiano es la forma 4$\langle F_A \wedge \star F_A \rangle$(dónde$\star$es la estrella de Hodge de una métrica dada (gravedad) y$\langle -,-\rangle$es un polinomio invariante, la "forma de matar" o rastro), o de manera similar el funcional topológico de acción de Yang-Mills, cuyo Lagrangiano es la forma 4$\langle F_A \wedge F_A \rangle$.

La razón es que estos Lagrangianos se construyen a partir de curvaturas evaluadas en un polinomio invariante . La misma invariancia de estos polinomios invariantes bajo la acción conjunta del grupo de calibre sobre sus argumentos asegura que si$\{U_i \to X\}$es una buena cobertura abierta de espacio (-tiempo) de 4 dimensiones y si el campo de calibre está dado por los datos del cociclo de Cech$\{A_i, g_{i j}\}$con respecto a estos parches locales, que luego en doble superposición los dos (topológicos o no) lagrangianos de Yang-Mills provenientes de dos parches ya son iguales

Por lo tanto, si escribimos$\nabla = \{A_i, g_{i j}\}$para la conexión del campo de calibre de forma abstracta y denote el Lagrangiano de Yang-Mills (topológico) globalmente por$\langle F_\nabla \wedge F_\nabla\rangle$, entonces esto ya es una forma de 4 definida globalmente. Matemáticamente, esta declaración es lo que está en el centro de la teoría de Chern-Weil .

Tenga en cuenta que, sin embargo, existe una relación intrincada con la historia del funcional de Chern-Simons. Es decir, la forma local de Chern-Simons $CS(A_i)$tiene la propiedad especial (esencialmente por definición) de que su diferencial es el lagrangiano topológico de Yang-Mills:

Esto significa que con el Chern-Simons Lagrangian considerado como una conexión de 3 formas, entonces el Yang-Mills Lagrangian topológico es su curvatura de 4 formas . Por lo tanto, la relación entre la forma 4 topológica de Yang-Mills Lagrangian y la forma 3 de Chern-Simons es precisamente un análogo en la teoría de calibre superior de la relación familiar dos grados por debajo de cómo la forma 1 del potencial electromagnético, que no es globalmente definido en general -- tiene una forma de curvatura 2 que está globalmente bien definida.

Matemáticamente, esta es la razón por la cual los funcionales de Chern-Simons se denominan " invariantes secundarios ".

De hecho, esto es un poco más que una simple analogía: la forma 3 de Chern-Simons es precisamente un análogo doblemente superior del campo electromagnético cuando pasamos del punto, a través de la cuerda, a la membrana .

Tengo algunas notas de conferencias con más en este sentido en nLab: cohomología suave retorcida en la teoría de cuerdas .