En su libro Geometría Diferencial Aplicada, William Burke dice lo siguiente después de decir que la acción debe ser la integral de una función :
Una integral de línea tiene sentido geométrico solo si su integrando es una forma 1. Es una forma 1? Bueno, esa es la pregunta equivocada. La pregunta correcta es: ¿Sobre qué espacio está una forma 1? No es una forma 1 en el espacio de configuración, el espacio de posiciones, porque puede tener una dependencia no lineal de las velocidades. Una forma 1 debe ser un operador lineal en los vectores tangentes. El espacio correcto para es el paquete de contactos de elementos de línea del espacio de configuración.
Ahora, ¿por qué intuitivamente la configuración correcta para la mecánica lagrangiana está en el paquete de contactos? Entiendo el paquete de contactos como pares. dónde es un punto en el espacio de configuración y es una clase de equivalencia de vectores, explícitamente .
Pensando no en todos los argumentos para seleccionar el espacio en el que es un -forma, físicamente, ¿cómo podemos intuir que el haz de contactos sirve para eso? Quiero decir, ¿hay alguna observación en la mecánica clásica que nos guíe en la construcción de la teoría sobre ese espacio?
La característica especial de la geometría de contacto es la forma de contacto 1 , que satisface (restringiremos a 3 dimensiones). En nuestro ejemplo de mecánica lagrangiana, . Desea que esto retroceda a cero en las curvas "permisibles" en el espacio de fase: estas curvas representan los movimientos de su sistema.
Para obtener una explicación más detallada pero tangencial, consulte:
https://mathoverflow.net/questions/72498/what-is-the-role-of-contact-geometry-in-the-hamiltonian-mechanics