Flexión de la luz: la inercia del fotón en lugar de la masa

En la gravedad newtoniana, la aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa del objeto: un elefante que cae acelera hacia abajo a la misma velocidad que un mosquito que acelera (ignorando la resistencia del aire). Eso significa que la órbita de un objeto no depende de la masa del objeto (siempre que el objeto sea mucho más ligero que la estrella).

La desviación de un objeto por un cuerpo masivo es solo una órbita hiperbólica, y como cualquier otra órbita, la trayectoria no depende de la masa del objeto en órbita, solo de su velocidad y posición inicial. Esto significa que si calculamos la desviación angular de un objeto que viaja a$c$en una órbita hiperbólica el resultado resulta ser independiente de la masa del objeto:

dónde$M$es la masa de la estrella/planeta/lo que sea y$r_0$es la distancia de máxima aproximación.

El punto es que asumir algún valor hipotético para la masa del fotón no afecta la predicción newtoniana porque la predicción newtoniana no depende de la masa. Entonces, la respuesta a su pregunta es que no, usando una masa fotónica efectiva de$m = h/\lambda c$no da el resultado correcto.

El cálculo GR da la desviación de la luz como:

que es el doble del resultado newtoniano. Pero este no es un caso especial que se aplica solo a la luz porque GR da resultados diferentes a la gravedad newtoniana para todos los objetos, independientemente de la masa: la desviación de la luz es solo un caso límite.

1. Dado que la gravedad se acopla a la energía en lugar de a la masa en reposo, es natural especular que las dos masas en la ley de gravitación de Newton deberían reemplazarse con las masas relativistas en una aproximación posnewtoniana .

2. La propuesta anterior ya falla para la flexión/desviación de una partícula puntual masiva o sin masa de masa en reposo.$m$alrededor de una masa$M$. En un sistema de coordenadas donde$M$está en reposo, una ingenua ley de Newton relativista sería entonces

   $$\frac{d(\gamma m {\bf v})}{dt}~ \stackrel{?}{=}~-G\gamma mM\frac{\bf r}{r^3}.\tag{1}$$ Dado que la velocidad$|{\bf v}|$es aproximadamente constante, podemos eliminar efectivamente el$\gamma$factores en ambos lados, y estamos de vuelta donde empezamos, cf. el principio de equivalencia :(

3. Por otro lado, sabemos por la fórmula relativista general correcta que nos falta un factor

   $$\color{red}{1+\frac{v_0^2}{c^2}~=~ 2-\gamma_0^{-2}}\tag{2}$$ en el derecho. de la ec. (1). La fórmula relativista general de flexión/desviación es un factor$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$veces el resultado newtoniano.

4. El factor$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$se puede entender a través de la ecuación de rayos

   $$\frac{d}{ds}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}\frac{dr_i}{ds} \right)~=~\frac{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{2n}}{\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}}\frac{\partial n}{\partial r^i} , \tag{3}$$ con índice de refracción efectivo $$n({\bf r})~=~1-\frac{2\phi({\bf r})}{c^2} ,\tag{4}$$ y potencial gravitatorio específico $$\phi({\bf r})~=~-GM/|{\bf r}|.\tag{5}$$ Aquí el COM $$E~=~\gamma_0 mc^2,\qquad \gamma_0~=~\gamma(v_0), \tag{6}$$ se determina asintóticamente en el infinito espacial$|{\bf r}|=\infty$.

   La aproximación principal de la ecuación de rayos (3) produce una segunda ley de Newton específica

   $$\frac{d^2r_i}{dt^2}~\approx~v_0^2\frac{d^2r_i}{ds^2}~~\stackrel{(3)+(6)}{\approx}~ v_0^2\frac{\gamma_0^2-\frac{1}{2}}{\gamma_0^2-1}\frac{\partial n}{\partial r^i}~\stackrel{(4)}{=}~-(\color{red}{2-\gamma_0^{-2}})\frac{\partial \phi}{\partial r^i} \tag{7}$$ hasta el factor buscado$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$.