Relación entre el parámetro de impacto y la distancia de máxima aproximación de un rayo de luz en Schwarzschild Geodesics

La relación entre$b$y$r_0$para la métrica de Schwarzschild es:

$$b = \frac{r_0}{\sqrt{1 - \tfrac{r_s}{r0}}}$$

dónde$r_s$es el radio del horizonte de sucesos. Vea este documento para los detalles sangrientos.

Las ecuaciones dadas en los dos artículos se derivan en el límite de campo débil, es decir$r \gg r_s$entonces$b \approx r_0$de todos modos y no hace ninguna diferencia real que utilice. Si estuviera escribiendo el artículo, describiría$b$como el parámetro de impacto y no la distancia de acercamiento más cercano , pero no me siento lo suficientemente fuerte como para querer editar el artículo ofensivo de Wikipedia.

La cantidad$b$en estas ecuaciones es el parámetro de impacto y se define como$L/E$(en unidades donde$c=1$). Se llama así porque$L/E$es la distancia perpendicular entre la trayectoria de un fotón en$r \gg r_s$y una línea radial a través del origen, donde el fotón tiene momento lineal$E$y momento angular$bE$.

Para ver cómo se relaciona esto con el enfoque más cercano, es mejor escribir la ecuación para la velocidad coordinada de la luz como

$$\frac{dr}{dt} = \pm \frac{b}{r_s} \left(1- \frac{r_s}{r}\right)\left[ \left(\frac{r_s}{b}\right)^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\frac{r_s^2}{r^2}\, \right]^{1/2}\ .$$

Los "puntos de inflexión" son cuando el lado derecho es igual a cero. Uno de estos es cuando$r=r_s$, porque la luz no puede cruzar el horizonte de eventos en las coordenadas de Schwarzschild. Igualar el contenido del corchete a cero da una ecuación cúbica en$r$que determinan la ubicación de cualquier otro posible punto de inflexión

$$r_{0}^3 - b^2 r_{0} + b^2 r_s = 0\ .$$

Si está interesado en la luz que se acerca desde$r \gg r_s$con$dr/dt<0$entonces es la mayor de las tres raíces posibles, con$r_0 \geq 3r_s/2$, que es de interés (el del medio corresponde a la luz que viaja hacia el exterior desde$r < 3r_s/2$, inicialmente con$dr/dt>0$, y luego retrocediendo; la raíz más pequeña no es física). Raíces reales con$r_0 > r_s$solo existe para$b \geq 3\sqrt{3}r_s/2$. Menor$b$los valores significan que$dr/dt$siempre es negativo hasta que$r \rightarrow r_s$.

La ecuación cúbica anterior también se puede reorganizar para dar$b$como una función de$r_{0}$:

$$b = \pm \frac{r_{0}}{\sqrt{1 - r_s/r_{0}}}\ .$$ Los signos más y menos aquí se pueden interpretar como órbitas en sentido horario o antihorario.

Cuando$r_{0} \gg r_s$entonces puedes ver eso$b \simeq \pm r_{0}$y estaría bien usar$b$y$r_0$indistintamente en estas circunstancias (por ejemplo, la curvatura de la luz de las estrellas alrededor del limbo del Sol, donde$R_\odot \gg r_s$).