Física térmica de Schroeder: multiplicidad de una sola molécula de gas ideal

Necesitamos contar el número de funciones de onda linealmente independientes disponibles para una partícula. Con las restricciones de que la región es finita y su energía es limitada, este número de estados es siempre un número finito.

A pesar de esto, hay muchos conjuntos diferentes de funciones de onda linealmente independientes con las que podemos operar. Así que elige los que tengan valores de energía definidos.

La energía cinética depende del cuadrado del momento. Las funciones de onda deben satisfacer las condiciones de contorno, es decir, en una caja unidimensional, deben ir a cero en ambos extremos. Entonces solo se permiten ciertas longitudes de onda, con valores discretos 2L, 2L/2, 2L/3....

$E_n$=$h^2$$n^2$/8m$L^2$donde n es cualquier entero positivo.

Cualquier otra función de onda se puede escribir como una combinación lineal de funciones de onda de energía definidas. Estas funciones de onda de energía definidas son linealmente independientes.

Entonces, contar el número de funciones de onda de energía definidas es una forma de contar "todos" los estados en el cuadro.

Dentro de una caja tridimensional, multiplicamos 3 funciones de onda de energía definidas de 1 dimensión para crear una función de onda de energía definida tridimensional.

$\psi$(x, y, z) =$\psi_x (x)$$\psi_y (y)$$\psi_z$(z)

Estos productos no son todas las funciones de onda de energía definidas, pero las otras pueden escribirse como combinaciones lineales de éstas.

Si la caja es un cubo tenemos

mi =$h^2$/8m$L^2$$[n^2$$_x$+$n^2$$_y$+$n^2$$_z$]

La mayoría de los niveles de energía son degenerados, lo que corresponde a múltiples estados linealmente independientes que deben contarse por separado. El número de estados linealmente independientes que tienen una energía determinada se conoce como degeneración del nivel. Es decir, (n-fold) degeneración.

Tiene una cierta cantidad de estados de posición distintos, cada uno de los cuales puede tener una cierta cantidad de estados de impulso distintos asociados, por lo que la cantidad total de estados distintos es el producto de los dos.

Entonces, una molécula podría estar en la posición X = 5, con un momento P = 7, y así sucesivamente. Al menos así es como lo leo hasta que busco algunos libros. Luego extiende esta idea a 3D.

Con respecto a (1): Los estados que escribiste tienen energía$\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{2\pi n}{L})^2$y en este caso hay de hecho infinitas funciones de onda linealmente independientes.

En el libro, el autor comienza considerando un solo átomo de gas de energía fija$U$dentro de una caja. Luego quiere contar el número de funciones de onda linealmente independientes a esta energía en particular. Esto corresponde a una esfera en el espacio de momento:$p_x^2+p_y^2+p_z^2=p^2$, y el número de tales funciones de onda linealmente independientes es finito.

Creo que enfatiza que necesitas independencia para obtener un número finito, porque dados dos estados propios de energía$|\phi\rangle$,$|\psi\rangle$, siempre se pueden tomar combinaciones lineales "tontas":

$\alpha |\phi\rangle+(1-\alpha)|\psi\rangle$.

Espero que esto ayude.

Editar: sobre (2):

Esto se hace tradicionalmente para$N$partículas pero permítanme dar un bosquejo informal:

Usando la notación de count_to_10 :$E_=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) h^2/8mL^2$. Ahora queremos contar cuántos estados tienen una energía menor que$\bar{E}$.

En primer lugar alguna notación: let$\Phi(\bar{E})$denote el número de estados con energía$\leq \bar{E}$y$\omega(\bar{E})$denota el número de estados con energía en el rango$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$.

Mirando la fórmula de la energía:$(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=8mL^2 E / h^2$. Esto es precisamente afirmar que el vector$(n_x,n_y,n_z)$tiene longitud fija (norma al cuadrado). Por lo tanto, estados con energía menor que$\bar{E}$están dados por puntos en$n$espacio dentro de la esfera de radio$(8mL^2 E / h^2)^{1/2}$. El número total de tales puntos se puede aproximar por el volumen de la esfera:

$\Phi(\bar{E})=\frac{1}{8}\frac{4}{3}(\frac{8mL^2\bar{E}}{h^2})^{\frac{3}{2}}$.

El$1/8$se debe a que solo consideramos positivo$n$'s, por lo tanto, sólo un octante.

Ahora que sabemos el número de estados con energía$\leq \bar{E}$, podemos obtener el número de estados con energía en$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$tomando la derivada wrt.$\bar{E}$:

$\omega(\bar{E})=\frac{1}{4} L^3 (\frac{8m}{h^2})^{3/2} E^{\frac{1}{2}} \delta E$.

Aquí se ve el "volumen de posición" dado por$L^3$y el resto puede pensarse como proveniente del volumen abarcado por los momentos permitidos. De todos modos, creo que el autor escribió esta fórmula como un argumento de mano y demostrará el resultado exacto más adelante en el libro.

Pd: el truco anterior se puede entender de la siguiente manera:

$\omega(E)=\Phi(E+\delta E)- \phi(E)= \frac{\Phi(E+\delta E)-\Phi(E)}{\delta E} \delta E \approx \frac{d\Phi}{dE}\delta E$.