Factorizar la forma exponencial de un elemento grupal de un grupo de Lie, usando subgrupos

Estoy trabajando en la realización no lineal de los bosones de Goldstone, como lo hace Weinberg en la sección 19.6 de la teoría cuántica de campos, volumen II.

Tenemos un grupo de Lie real, compacto y conectado GRAMO con como subgrupo H . Dejar t a ser los generadores de H , y X i ser los generadores sobrantes (generadores rotos) de modo que juntos abarquen el grupo de Lie de GRAMO , gramo . Un elemento general de GRAMO puede entonces, a mi entender, escribirse

gramo = Exp ⁡ { i ( ξ i X i + θ a t a ) } .
Sin embargo, Weinberg afirma que podemos escribir (eq 19.6.12)
gramo = Exp ⁡ { i ξ i ′ X i } Exp ⁡ { i θ a ′ t a } .
Esto también se usa en otras fuentes que abordan el mismo material. ¿Por qué es esto cierto? Me parece plausible, mirando S O ( 3 ) como ejemplo, sin embargo, no he visto una prueba ni una justificación real para esta forma.

Editar: Así que investigué el origen del reclamo, que como afirma Cosmas en los comentarios es este documento de CWZ. La declaración aquí se califica como "en algún vecindario de GRAMO , cualquier elemento gramo ∈ GRAMO se puede descomponer de forma única como gramo = Exp ⁡ ( i ξ i X i ) Exp ⁡ ( i θ a t a ) . Esta es una declaración más débil, y parece directa del teorema de la función inversa.

La declaración entró en la corriente principal de la física en CWZ .
Estás pidiendo una prueba del mapa CBH ( ξ ′ , θ ′ ) ↦ ( ξ , θ ) es invertible no?
O eso ( ξ ′ , θ ′ ) → GRAMO es sobreyectiva, creo.
Bien. Pero esta es una pregunta estrictamente matemática , mejor cubierta en el MSE. Si tiene estómago para ello, debería pasar por Fulton & Harris .

Respuestas (1)

Ambos son ciertos en realidad. En una vecindad de la identidad, ambos mapas definen difeomorfismos locales desde el espacio tangente en el elemento de identidad al grupo de Lie. Observe que los mapas son diferentes: el mismo elemento del grupo está determinado por dos conjuntos de valores diferentes. Se habla de coordenadas de primer y segundo tipo. La prueba se basa en el teorema de la función inversa: en ambos casos, el diferencial del mapa en el origen del espacio tangente no es singular y luego el mapa es un difeomorfismo local.

¿Es esto suficiente para concluir que cualquier elemento de GRAMO se puede escribir de esta manera?
No, no todos los elementos. Sin embargo, cada elemento es un producto finito de los productos de dos factores solamente. Esto es consecuencia del hecho de que el grupo está conectado.
Bueno, eso no es lo suficientemente fuerte. Weinberg afirma "Porque t a y X i abarcar el álgebra de mentira de GRAMO , cualquier elemento finito de GRAMO puede expresarse en forma gramo = Exp ⁡ ( i ξ i X i ) Exp ⁡ ( i θ a t a ) ". ¿Estás diciendo que esto no es cierto? Por lo que puedo decir, esto es necesario para la construcción de la realización de los bosones de Goldstone.
No digo que no sea cierto. Tal vez lo sea. Pero la demostración no es trivial.
Eche un vistazo al libro de Barut Raczak sobre la teoría de la representación.
Gracias por considerar la pregunta, me ha estado molestando. Siempre es bueno escuchar que sus problemas no son triviales.
Sin embargo, debe ser un hecho conocido si es cierto. Por ejemplo, se sabe que si el grupo es compacto, la aplicación exponencial es sobreyectiva (no necesariamente inyectiva fuera de una vecindad de la identidad).
Como dice mi edición anterior, parece que el documento original solo requiere la afirmación más débil de "en un vecindario de la identidad de GRAMO "Supongo que la afirmación fuerte puede no ser cierta, ni necesaria, pero tengo que mirarla más de cerca.
Factorizar la forma exponencial de un elemento grupal de un grupo de Lie, usando subgrupos
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