Factores de fase bajo rotaciones de isospín fuerte y débil

Una antipartícula se transforma en la transformación conjugada.$\bar{\mathbf r}$que la partícula${\mathbf r}$hace bajo el grupo de simetría dado,$SU(2)$en tu caso. No es de extrañar que, en general, los generadores$T^i_{\mathbf r}$y$T^i_\bar{\mathbf r}=-T^{i\,*}_{\mathbf r}$actuar diferente en${\mathbf r}$y$\bar{\mathbf r}$respectivamente. Esta es la razón por la que, por ejemplo, spin-$\frac{1}{2}$campos, es decir, combinaciones lineales de operadores de aniquilación de partículas,$a$, y operadores de creación de antipartículas,$b^\dagger$, las funciones de onda$u(p)$y$v(p)$frente a$a$y$b^\dagger$no están simplemente relacionados por$p\rightarrow -p$.

Sin embargo, para la transformación de doblete SU(2) con generadores$T^i=\sigma^i/2$(dónde$\sigma^i$son las matrices de Pauli), resulta que$\sigma^2 T^i\sigma^2=-T^{i\,*}$de modo que$i\sigma^2 \bar{\mathbf{2}}$transformar como un${\mathbf 2}$, a saber

$$i\sigma^2\psi^*=\left(\begin{array}{c} \bar{d}\\ -\bar{u}\end{array}\right)\qquad \mbox{and}\qquad \psi=\left(\begin{array}{c} u\\ d\end{array}\right)$$ transformarse de la misma manera bajo $SU(2)$(y en particular $\tau_+ \bar{u}=-\bar{d}$). Por lo tanto, si desea extraer un triplete de $\bar{\mathbf 2}\otimes {\mathbf 2}={\mathbf{1}}+\mathbf{3}$, solo necesitas tomar las combinaciones simétricas de $i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a={\mathbf{3}}$, exactamente como si quisieras extraer el triplete (es decir, la combinación simétrica) de $\mathbf 2\otimes {\mathbf 2}={\mathbf{1}}+\mathbf{3}$.

Explícitamente, ordenar los estados como$\psi^{a=1}=|up\rangle=u$y$\psi^{a=2}=|down \rangle=d$como arriba (esta es la base donde$T^3$es diagonal con$+1/2$y$-1/2$en la entrada superior e inferior respectivamente), la combinación simétrica con$a=1$y$c=2$en$i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a$es proporcional a$\bar{u}u-\bar{d}d$. El signo menos relativo que obtienes proviene del$i\sigma^2$. Los otros estados del triplete corresponden a la elección$a=c=1$y$a=c=2$, que dan$\bar{d}u$y$\bar{u}d$

$$\mathbf{3}\propto \frac{1}{2}\left(i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a\right)=\left(\begin{array}{cc}\bar{d}u & \frac{1}{2}(\bar{d}d-\bar{u}u) \\ \frac{1}{2}(\bar{d}d-\bar{u}u) & -\bar{u}d \end{array}\right)_{ac}$$ De hecho, esta es la composición correcta, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Pion para comprobarlo.

Si elimina, por error, el$i\sigma$formar la combinación simétrica, se obtiene en su lugar$\bar{u}d+\bar{d}u$(por$a=1$,$c=2$), y$\bar{u}u$y$\bar{d}d$para las otras opciones$a=c$, un resultado que no tiene ningún sentido.