Extremos aislados de una varilla

Estoy tratando de entender la condición límite de una barra que está aislada en sus extremos. Se dice que las condiciones de contorno para tal barra son − k d T d X = 0 . En otras palabras, el gradiente de temperatura en los extremos debe ser cero. Pero, en primer lugar, ¿cómo definimos un gradiente de temperatura al final de la varilla? Para que exista una derivada en los extremos de la barra, la pendiente de la distribución de temperatura debe aproximarse a cero en ambos lados. Pero simplemente no hay puntos a ambos lados para los puntos finales de la barra. Por ejemplo, el punto final en X = 0 tiene puntos solo a la derecha, pero no a la izquierda.

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Esta es realmente una pregunta de matemáticas, no una pregunta de física. Necesita obtener una mejor comprensión de lo que significa la derivada, tal vez en términos de la tangente a la curva de T vs x.

Respuestas (2)

Usualmente uno define la derivada de una función en un punto X = a como

F ′ ( X ) = límite X → a F ( X ) − F ( a ) X − a .
De hecho, esta definición asume que este límite tiene el mismo valor si X enfoques a desde abajo o desde arriba.

Sin embargo, uno puede definir la derivada de una función que viene de un punto solo de un lado. Por ejemplo, las derivadas por la izquierda y por la derecha se definen como

F − ′ ( a ) = límite X → a − F ( X ) − F ( a ) X − a
y
F + ′ ( a ) = límite X → a + F ( X ) − F ( a ) X − a ,
dónde X → a − significa que X enfoques a desde abajo y X → a + significa que X enfoques a desde arriba.

Para que la derivada de una función exista en X = a Necesitamos tener F − ′ ( a ) = F + ′ ( a ) (y esto es finito) y simplemente lo denotamos como F ′ ( a ) .

Ahora si F se define en un intervalo, digamos F : [ a , b ] , obviamente no podemos calcular F − ′ ( a ) , pero aún podemos hablar de F + ′ ( a ) .

En tu problema, esencialmente tienes una función. T : [ 0 , L ] , por lo que solo puedes calcular T + ′ ( 0 ) en X = 0 , y esto es lo que significa la condición de contorno. Básicamente, se supone que en el límite se calcula la derivada desde abajo o desde arriba que es relevante para ese límite específico.

Gracias por la respuesta. Entiendo. Pero, ¿por qué la restricción de que dT/dx tiende a 0 desde el lado derecho impide que el calor fluya hacia la frontera desde los alrededores?
El hecho de que d T / d X = 0 desde la derecha en X = 0 significa que T es constante a la derecha de X = 0 . Si el calor estuviera fluyendo hacia el límite desde los alrededores T no sería constante a la derecha de X = 0 (a menos que se lleven a cabo otros procesos).
¿Sería correcto decir que, dado que la temperatura del elemento en el límite ( X = 0 ) depende únicamente de la temperatura de su vecino de la derecha (porque el flujo de calor a través de la izquierda siempre es cero), siempre tenderá a la temperatura de su vecino de la derecha, haciendo que sus temperaturas sean iguales y, por lo tanto, d T d X constante en X = 0 ?
La razón por la cual d T / d X = 0 es porque el flujo de calor (desde la derecha) en el límite X = 0 debe ser cero, y el flujo de calor viene dado por − k d T d X . Sin embargo, este flujo de calor no necesita ser cero en otros puntos a lo largo de la varilla.

Técnicamente, la condición de frontera en X = 0 no es que la derivada sea igual a cero, sino que la derivada por la derecha sea igual a cero. Es solo que están siendo descuidados. Del mismo modo, en X = L , la derivada izquierda es cero. La notación es similar a d T / d X , excepto el primero d tiene un + como subíndice. Entonces tenemos

d + T d X = 0
en X = 0 , y
d − T d X = 0
en X = L .

Las funciones para cada variable en la barra son continuas por la izquierda y derivables por la derecha en X = 0 , así como continuo por la derecha y diferenciable por la izquierda en X = L . Consulte este artículo para obtener más información.

Hola, he formateado tu publicación usando MathJax , que es el estándar para este sitio.
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