Confusión sobre la Ley de Fourier

De acuerdo con el libro de texto que estoy leyendo ( Fundamentos de transferencia de calor y masa de Incropera), la ley de conducción térmica de Fourier, q X = − k A d T d X , es una ley basada en evidencia experimental, no una que se deriva de primeros principios. El libro continúa describiendo el experimento en el que se basa la ley. Una varilla tiene longitud Δ X , área de la sección transversal A , y sus extremos tienen una diferencia de temperatura de Δ T . Tenencia Δ T y Δ X constante, encontramos que la tasa de conducción de calor q X es directamente proporcional al área de la sección transversal A . Tenencia Δ T y A constante, encontramos que q X es inversamente proporcional a la longitud de la barra Δ X . Finalmente, sosteniendo Δ X y A constante, encontramos que q X es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre las caras de los extremos de la varilla, Δ T . Todos estos resultados se pueden empaquetar en la proporcionalidad. q X ∝ A Δ T Δ X .

El problema que tengo con esto es que el libro de texto solo especifica que hay una diferencia de temperatura Δ T entre los extremos de la varilla. No especifica cómo varía la temperatura entre los extremos de la varilla. ¿Es lineal? Si es así, ¿la relación q X ∝ A Δ T Δ X ¿Solo vale para una varilla que tiene una variación de temperatura lineal a lo largo de su longitud?

Esto es solo una suposición, pero tal vez el texto esté insinuando que, dado que la temperatura variará linealmente en longitudes infinitesimales a medida que toma el límite como Δ X va a cero, podemos simplemente aplicar la ley de Fourier para cada longitud infinitesimal a lo largo de la barra e integrar?

Tu apreciación es correcta. La variación de temperatura no tiene que ser lineal y la ecuación se aplica a cada elemento diferencial de la varilla.
Gracias por la confirmación. Si no le importa que haga una pregunta adicional: cuando decimos que, por ejemplo, 500 W de calor se conducen a través de un punto de la barra, ¿básicamente estamos diciendo que 500 J de energía pasan a través de ese punto cada segundo? y esta tasa depende de la pendiente de la temperatura centrada alrededor de ese punto, dT/dx?
Sí, q en esta ecuación es la tasa (local) de flujo de calor.

Respuestas (1)

Si ha elegido mudarse de q X = − k A d T d X para un elemento infinitesimal q X ∝ A Δ T Δ X en todas partes para una región finita (en otras palabras, si eligió reemplazar una derivada con una diferencia finita), entonces sí, implícitamente asumió que la pendiente es constante en toda la barra.

Este reemplazo no funcionaría si el material o las condiciones fueran notablemente heterogéneos o si se tratara de otro modo de transferencia de calor (es decir, si la varilla estuviera hecha de dos materiales unidos por sus extremos o si existiera una fuente de calor interna o si la convección lateral o la radiación fueran no despreciable desde los lados de la varilla).

A su vez, debemos evitar cualquiera de estas complicaciones si queremos medir la propiedad material k basado en aplicar una diferencia de temperatura a una barra y medir el flujo de calor resultante. ¿Esto tiene sentido?

Gracias por la respuesta. Sí, eso tiene sentido. Pero para especificar lo que estaba tratando de preguntar, lo que quería saber era si este experimento en el que se basa la ley de Fourier se realizó con una varilla que tenía una distribución de temperatura lineal o no.
Sí. De lo contrario, la conductividad térmica k que uno extrae es solo un valor efectivo, uno que depende de los detalles experimentales exactos y no es necesariamente una propiedad material verdadera. Por ejemplo, incluso si utilizo una varilla homogénea uniforme y perfectamente aislada y mido el flujo cuando los extremos se mantienen a 10 °C y 20 °C, solo puedo obtener el promedio efectivo difuminado de la conductividad térmica en función de temperatura entre 10°C y 20°C.
Tiene sentido. Gracias.
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