Exprese la transformada de Laplace del voltaje a través de un capacitor en términos de carga

Question

Exprese la transformada de Laplace del voltaje a través de un capacitor en términos de carga

Física
capacidad
circuitos eléctricos
Transformada de Laplace
deberes-y-ejercicios

DanielSank

En la sección 2.1 de Charge Tunneling Rates in Ultrasmall Junctions , los autores consideran el problema de la relajación de la carga en un circuito simple que se muestra en la Figura A. Implícitamente usan una suposición sobre la representación del voltaje en el dominio de Laplace que no entiendo. Para plantear la pregunta, primero expongamos el punto del cálculo.

Figura A: un capacitor acoplado a una impedancia arbitraria $\tilde{Z}(\omega)$ y una fuente de tensión continua $V$ .

Denote que la carga de equilibrio a través del capacitor es $Q_e$ . En el momento $t=0$ soltamos algo de carga extra en el capacitor, haciendo que la carga total del capacitor $Q_0$ . Nos gustaría resolver el cargo dependiente del tiempo $Q(t)$ en el condensador.

De la definición de impedancia tenemos

\hat{V} (pag) = \hat{Z} (pag) \hat{I} (pag)

$\hat{V}(p) = \hat{Z}(p) \hat{I}(p)$ dónde

V

$V$ es voltaje,

Z

$Z$ es la impedancia y

I

$I$ es actual. Usando la regla de la derivada para las transformadas de Laplace (álgebra/cálculo simple), encontramos

\hat{I} (pag) = pag \hat{q} (pag) - q_{0}

$\hat{I}(p) = p \hat{Q}(p) - Q_0$ que nos da

\hat{V} (pag) = \hat{Z} (pag) (pag \hat{q} (pag) - q_{0}) .

$\hat{V}(p) = \hat{Z}(p)(p\hat{Q}(p) - Q_0) \, .$

Para terminar de resolver el problema, necesitamos expresar $\hat{V}$ en términos de $\hat{Q}$ . En el documento Ecuación (9), los autores simplemente escriben

\frac{q_{mi}}{pag C} = \frac{\hat{q} (pag)}{C} + \hat{Z} (pag) (pag \hat{q} (pag) - q_{0}) .

$\frac{Q_e}{pC} = \frac{\hat{Q}(p)}{C} + \hat{Z}(p)(p \hat{Q}(p) - Q_0)\ \, .$ lo que implica que

\begin{matrix} (⋆) & \hat{V} (pag) = \frac{q_{mi}}{pag C} - \frac{\hat{q} (pag)}{C}, \end{matrix}

$\hat{V}(p) = \frac{Q_e}{pC} - \frac{\hat{Q}(p)}{C} \, , \tag{$\star$}$ pero no entiendo por qué es así.

por que es ecuacion $(\star)$ ¿correcto? ¿Viene de algunas consideraciones de las condiciones de contorno o de algún otro razonamiento físico, o de una simple consideración matemática?

En esta pregunta, $\tilde{x}$ indica una transformada de Fourier definida como

\tilde{X} (ω) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} X (t) Exp (- i ω t) d t

$\tilde{x}(\omega) \equiv \int_{-\infty}^\infty x(t) \exp(-i \omega t) \, dt$ y

\hat{x} (p)

$\hat{x}(p)$ indica una transformada de Laplace definida como

\hat{X} (pag) \equiv \int_{0}^{\infty} X (t) Exp (- pag t) d t .

$\hat{x}(p) \equiv \int_0^\infty x(t) \exp(-pt) \, dt \, .$

Con esta convención de Fourier:

Una función de respuesta lineal causal $Z$ tiene $Z(t<0)=0$ .
Las transformadas de Fourier y Laplace están relacionadas por $\hat{x}(p) = \tilde{x}(-ip)$ (nuevamente asumiendo funciones causales).

jerbo sammy

Esto parece ser un ejercicio, así que he agregado la etiqueta apropiada. Pero me pregunto cómo justifica esto como una pregunta conceptual, es decir, no fuera de tema . Me parece que usted está pidiendo que alguien le señale el error en su cálculo, lo que entiendo para hacer la pregunta fuera de tema .

DanielSank

@sammygerbil No he proporcionado ningún trabajo para verificar. Estoy preguntando específicamente por qué, conceptualmente, tiene sentido escribir

\hat{V} (p) = Q_{e} / p C - \hat{Q} (p) / C

$\hat{V}(p) = Q_e/pC - \hat{Q}(p)/C$ .

jerbo sammy

El hecho de que agregue la palabra conceptualmente a una pregunta no la convierte en una pregunta conceptual. La respuesta que da Skyler no es conceptual, es un cálculo. Ha interpretado su pregunta como "¿Cómo obtengo la ecuación

(*)

$(*)$ ?"... ¿Qué tipo de respuesta conceptual te satisfaría?

DanielSank

@sammygerbil Las cualidades de una respuesta en particular no dictan la actualidad de una pregunta. El tipo de respuesta conceptual que me satisfaría es explicar de dónde viene la ecuación. ¿Es de las condiciones de contorno? ¿Es algo sobre las leyes de Kirchoff? Creo que si lees la pregunta más de cerca, verás que lo que estoy preguntando es sobre una expresión simple muy específica, tan simple de hecho que no se necesita ningún cálculo, solo una mejor comprensión conceptual.

jerbo sammy

¿Quizás podría cargar la sección relevante del documento? ¿Escribe el autor la ecuación (∗) como un punto de partida obvio o como el resultado de un cálculo? Su propia pregunta sugiere que debería ser el último paso del cálculo. Pero aprecio que sea posible reconocerlo como la diferencia de dos voltajes significativos, y esa es la explicación que está solicitando, en cuyo caso el preámbulo es innecesario y engañoso. (Por cierto, ¿qué es

Q_{e}

$Q_e$ ? ¿Es lo mismo que

Q_{0}

$Q_0$ ?)

robar

Esta pregunta se discute en Meta .

david z

@sammygerbil Probablemente deberías leer mi respuesta a la meta publicación. La esencia es que creo que tu edición es inapropiada. Específicamente, dos problemas: (1) esta pregunta no merece la etiqueta, que se analiza en la meta publicación, y (2) aplicó formato de cita a algo que no es una cita.

DanielSank

@sammygerbil como señaló DavidZ, el uso del formato de comillas no estaba justificado, al igual que la etiqueta de tarea, así que lo revertí.

jerbo sammy

Me disculpo por usar incorrectamente el formato de cotización. No me di cuenta de que está destinado solo a citas en lugar de enfatizar el problema que está tratando de resolver. Pero todavía no estoy de acuerdo con la etiqueta y responderé en detalle a la respuesta de DavidZ en Meta.

una mente curiosa

1. ¿Por qué definió una transformada de Fourier como

\tilde{x}

$\tilde{x}$ si nunca usas uno por lo que puedo ver? 2. Parece que faltan algunas suposiciones. Su

Q_{0}

$Q_0$ es una entrada arbitraria, pero para su eq. (

⋆

$\star$ ) para seguir de su ecuación antes de eso,

Q_{0}

$Q_0$ tiene que estar relacionado con

Z (p), C

$Z(p),C$ y

Q_{e}

$Q_e$ , que son propiedades fijas del circuito. Pero esto es imposible, una entrada arbitraria a la situación no puede ser una función de parámetros fijos de la situación.

DanielSank

@sammygerbil Enlace al artículo de arXiv agregado. Creo que he aclarado la pregunta. Por favor comenta si todavía crees que es tarea. También con respecto a su comentario: "Por cierto, ¿qué es $Q_e$ ?" Eso se indicó claramente al comienzo de la publicación y todavía se establece claramente en la edición reciente (v5). Lea la pregunta antes de emitir un juicio de que va en contra de la política de tareas.

DanielSank

@ACuriousMind 1. ¡Para ayudar a los lectores a comprender la pregunta! Las impedancias son implícitamente transformadas de Fourier de un kernel de respuesta lineal en el dominio del tiempo, por lo que pensé que sería bueno explicar la relación con las transformadas de Laplace utilizadas por los autores. 2. No entiendo. Contáctame en el chat.

una mente curiosa

Ah, tu edición ha explicado lo que quería saber. Pero ahora, si miramos esto en el dominio del tiempo, ¿es que no es simplemente

V (t) = \frac{Q_{e}}{C} θ (t) - \frac{Q (t)}{C}

$V(t) = \frac{Q_e}{C}\theta(t) - \frac{Q(t)}{C}$ , lo cual es cierto por definición de capacitancia (si enciende la carga de equilibrio en

t = 0

$t=0$ y definir

Q (t)

$Q(t)$ adecuadamente)?

DanielSank

@ACuriousMind No entiendo el letrero.

Respuestas (2)

Exprese la transformada de Laplace del voltaje a través de un capacitor en términos de carga

Esto parece ser un ejercicio, así que he agregado la etiqueta apropiada. Pero me pregunto cómo justifica esto como una pregunta conceptual, es decir, no fuera de tema . Me parece que usted está pidiendo que alguien le señale el error en su cálculo, lo que entiendo para hacer la pregunta fuera de tema .
@sammygerbil No he proporcionado ningún trabajo para verificar. Estoy preguntando específicamente por qué, conceptualmente, tiene sentido escribir $\hat{V}(p) = Q_e/pC - \hat{Q}(p)/C$ .
El hecho de que agregue la palabra conceptualmente a una pregunta no la convierte en una pregunta conceptual. La respuesta que da Skyler no es conceptual, es un cálculo. Ha interpretado su pregunta como "¿Cómo obtengo la ecuación $(*)$ ?"... ¿Qué tipo de respuesta conceptual te satisfaría?
@sammygerbil Las cualidades de una respuesta en particular no dictan la actualidad de una pregunta. El tipo de respuesta conceptual que me satisfaría es explicar de dónde viene la ecuación. ¿Es de las condiciones de contorno? ¿Es algo sobre las leyes de Kirchoff? Creo que si lees la pregunta más de cerca, verás que lo que estoy preguntando es sobre una expresión simple muy específica, tan simple de hecho que no se necesita ningún cálculo, solo una mejor comprensión conceptual.
¿Quizás podría cargar la sección relevante del documento? ¿Escribe el autor la ecuación (∗) como un punto de partida obvio o como el resultado de un cálculo? Su propia pregunta sugiere que debería ser el último paso del cálculo. Pero aprecio que sea posible reconocerlo como la diferencia de dos voltajes significativos, y esa es la explicación que está solicitando, en cuyo caso el preámbulo es innecesario y engañoso. (Por cierto, ¿qué es $Q_e$ ? ¿Es lo mismo que $Q_0$ ?)
@sammygerbil Probablemente deberías leer mi respuesta a la meta publicación. La esencia es que creo que tu edición es inapropiada. Específicamente, dos problemas: (1) esta pregunta no merece la etiqueta, que se analiza en la meta publicación, y (2) aplicó formato de cita a algo que no es una cita.
@sammygerbil como señaló DavidZ, el uso del formato de comillas no estaba justificado, al igual que la etiqueta de tarea, así que lo revertí.
Me disculpo por usar incorrectamente el formato de cotización. No me di cuenta de que está destinado solo a citas en lugar de enfatizar el problema que está tratando de resolver. Pero todavía no estoy de acuerdo con la etiqueta y responderé en detalle a la respuesta de DavidZ en Meta.
1. ¿Por qué definió una transformada de Fourier como $\tilde{x}$ si nunca usas uno por lo que puedo ver? 2. Parece que faltan algunas suposiciones. Su $Q_0$ es una entrada arbitraria, pero para su eq. ( $\star$ ) para seguir de su ecuación antes de eso, $Q_0$ tiene que estar relacionado con $Z(p),C$ y $Q_e$ , que son propiedades fijas del circuito. Pero esto es imposible, una entrada arbitraria a la situación no puede ser una función de parámetros fijos de la situación.
@sammygerbil Enlace al artículo de arXiv agregado. Creo que he aclarado la pregunta. Por favor comenta si todavía crees que es tarea. También con respecto a su comentario: "Por cierto, ¿qué es $Q_e$ ?" Eso se indicó claramente al comienzo de la publicación y todavía se establece claramente en la edición reciente (v5). Lea la pregunta antes de emitir un juicio de que va en contra de la política de tareas.
@ACuriousMind 1. ¡Para ayudar a los lectores a comprender la pregunta! Las impedancias son implícitamente transformadas de Fourier de un kernel de respuesta lineal en el dominio del tiempo, por lo que pensé que sería bueno explicar la relación con las transformadas de Laplace utilizadas por los autores. 2. No entiendo. Contáctame en el chat.
Ah, tu edición ha explicado lo que quería saber. Pero ahora, si miramos esto en el dominio del tiempo, ¿es que no es simplemente $V(t) = \frac{Q_e}{C}\theta(t) - \frac{Q(t)}{C}$ , lo cual es cierto por definición de capacitancia (si enciende la carga de equilibrio en $t=0$ y definir $Q(t)$ adecuadamente)?

una mente curiosa · Answer 1

Hay dos posibilidades aquí:

Su $Q_0$ no es la carga total en el capacitor, sino la carga agregada a $Q_e$ . El voltaje $V(p)$ es el voltaje en el resto del circuito. Podemos ver esto a partir de su ecuación.
$\hat{I} (pag) = pag \hat{q} (pag) - q_{0}$ $\hat{I}(p) = p\hat{Q}(p) - Q_0$ y poniendo en la configuración de equilibrio $Q(t) = Q_e\theta(t)$ dónde $\theta(t)$ es la función de Heaviside que enciende la carga de equilibrio en $t=0$ . Las transformadas son $\hat{I}(p) = Q_e$ y $\hat{Q}(p) = Q_e/p$ , Insinuando $Q_0 = 0$ en equilibrio. Esto sucede porque el valor $\theta(0)$ es una convención que puede ser cualquier cosa desde $0$ a $1$ , y la convención implícita de esta transformada de Laplace es que es $0$ .

Tenga en cuenta que la corriente calculada como $\hat{I}(p)$ tiene un problema de signo: no se puede poner exactamente una carga de $Q_0$ sobre un capacitor, debes decidir en cuál de las placas lo colocas. Si aumenta la carga en la placa que ya está cargada en la configuración de equilibrio, entonces la corriente fluirá en dirección opuesta a la corriente cuando se cargó el capacitor. Así que si $Q_0$ denota poner más carga positiva en la placa ya cargada positivamente, el voltaje en el resto del circuito será $V(t) = \frac{Q_e}{C}\theta(t) - \frac{Q(t)}{C}$ , dónde $Q(0) = Q_0$ .
Su $Q_0$ es la carga total en el capacitor, y el voltaje que está calculando es el voltaje a través de la impedancia . Entonces, por las leyes de Kirchhoff, tenemos
$V + V_{C} + V_{0} = 0,$ $V+V_C+V_0 = 0,$ dónde $V_C = Q(t)/C$ es el voltaje en el capacitor y $V_0 = -Q_e/C$ es el voltaje constante (¡no causalmente encendido esta vez!) a través de la fuente de voltaje de CC. La última ecuación solo se cumple si la impedancia tiene una capacitancia despreciable, ya que entonces tenemos $V = 0$ en equilibrio donde $I=0$ y $Z$ es no singular.

Honestamente, me parece que los autores acaban de hacer un gran lío con la transformada de Laplace. Quieren llegar a la ecuación (10), $Q(t) = Q_e+(Q_0-Q_e)R(t)$ , donde la carga se expresa en función de la carga inicial $Q_0$ en el condensador y en el valor de equilibrio $Q_e$ , que es la carga final del capacitor. Pero como la transformada de Laplace no permite una escritura inmediata de una ecuación en función del valor final, escribieron un argumento equivocado. Tampoco hay necesidad de considerar $V$ y $Q_e$ en absoluto en el análisis del tiempo de relajación: ¡es un circuito lineal!

Skyler · Answer 2

Empezando con:

\hat{V} (pag) = \hat{Z} (pag) (pag \hat{q} (pag) - q_{0}) .

$\hat{V}(p) = \hat{Z}(p)(p\hat{Q}(p) - Q_0) \, .$

y usando nuestro conocimiento de capacitores ideales sometidos a impedancia reactiva (un término puramente imaginario para impedancia) tal que:

\hat{Z} (ω) = \frac{1}{i ω C} = \hat{Z} (pag) = \frac{1}{pag C}

$\hat{Z}(\omega)=\frac{1}{i\omega C}=\hat{Z}(p)=\frac{1}{pC}$

si repartimos la impedancia obtenemos

\hat{V} (pag) = (\frac{pag \hat{q} (pag)}{pag C} - \frac{q_{0}}{pag C}) .

$\hat{V}(p) = (\frac{p\hat{Q}(p)}{pC} - \frac{Q_0}{pC}) \, .$

pero para hacer esta división estamos dividiendo por un número complejo (a saber $0 + i\omega t$ ), lo que significa que debemos multiplicar ambos términos por su complejo conjugado $0 - i\omega t$ o $p*=-p$ llevando a

\hat{V} (pag) = (\frac{| {pag}^{2} | \hat{q} (pag)}{| {pag}^{2} | C} - \frac{{pag}^{*} q_{0}}{| {pag}^{2} | C})

$\hat{V}(p) = (\frac{|p^2|\hat{Q}(p)}{|p^2|C} - \frac{p^*Q_0}{|p^2|C})$

Con $\frac{p^*}{|p^2|} being \frac{i}{i^2}\frac{|\omega|}{|\omega|^2}=\frac{-i}{w}$ Lo que lleva al resultado:

\begin{matrix} (⋆) & \hat{V} (pag) = \frac{\hat{q} (pag)}{C} - \frac{q_{mi}}{| pag | C} \end{matrix}

$\hat{V}(p) = \frac{\hat{Q}(p)}{C} \ - \frac{Q_e}{|p|C} \tag{$\star$}$

Que podría escribirse como

\begin{matrix} (⋆) & \hat{V} (pag) = \frac{\hat{q} (pag)}{C} + \frac{q_{mi}}{pag C} \end{matrix}

$\hat{V}(p) = \frac{\hat{Q}(p)}{C} \ + \frac{Q_e}{pC} \tag{$\star$}$

Es una impedancia, pero eso es completamente irrelevante para entender por qué $\hat{V}(p)=Q_e/pC - \hat{Q}(p)/C$ .
¿Cómo es la condición inicial? $Q_0$ transformarse en la propiedad del circuito $Q_e$ en esta derivación?

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