¿Cómo obtener una función para el voltaje a través de un capacitor conectado a una fuente de voltaje de CA? [cerrado]

Estoy buscando la manera de obtener una solución para$V_{c}$,como una función de$t$dependiendo de$\omega$, de la siguiente ecuación diferencial relacionada con un circuito eléctrico que involucra un filtro de paso bajo:$\frac{ d V_{c}(t)}{d{t}} + \frac{V_{c}(t)}{\tau} = \frac{V_{s}(t)}{\tau}$.

dónde,$V_{c}$es el voltaje a través de la capacitancia,$V_{s}$es el voltaje dado por la fuente de voltaje de CA,$\tau$es la constante de tiempo,

teniendo en cuenta que,

$\tau = R C$,

$V_{s} = V_{in} \sin{( \omega t )}$,

$I_{R} = I_{C} = \frac{V_{s}(t) - V_{c}(t)}{R} = C \frac{dV_{c}(t)}{dt}$.

Abordé el problema resolviendo primero la parte homogénea ($\frac{ d V_{c}(t)}{d{t}} + \frac{V_{c}(t)}{\tau} = 0$) y para lo cual obtengo la siguiente solución:$V_{c}(t) = K e^{\frac{-t}{\tau}}$(dónde$K$es una constante).

Ahora necesito encontrar la solución particular (para obtener la solución general:$S_{general} = S_{homogeneous} + S_{particular}$). Creo que la solución particular podría ser del tipo:$V_{c}(t) = A \cos{(\omega t + \phi)}$.

Editar: una vez que reemplazo la solución particular en la ecuación, llego a algo dependiendo de$\omega$,$\phi$y$\frac{A}{V_{in}}$, pero no veo cómo seguir usando las fórmulas de suma de la función de suma.