Explicación de fórmula de reactancia compleja

Question

Explicación de fórmula de reactancia compleja

Física
impedancia
resistencia reactiva
notación matemática

E.l4d3

¿Alguien puede explicar las matemáticas detrás de las siguientes relaciones entre las igualdades en la reactancia de un capacitor?

X_{C} = \frac{1}{2 π F C} = \frac{- j}{ω C} = \frac{1}{j ω C}

$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{-j}{\omega C} = \frac{1}{j \omega C}$

Por ejemplo, el segundo miembro,

\frac{1}{2 π F C}

$\frac{1}{2\pi f C}$ No tiene ningún componente complejo, ¿cómo puede ser igual a los demás cuando

2 π F = ω

$2\pi f = \omega$ Falta el componente complejo, ¿verdad?

Y los dos últimos, son parecidos, pero el componente complejo está un poco revuelto. Yo tampoco entiendo lo que está pasando allí.

Las expresiones/miembros individuales están bien, pero según mi libro de texto se supone que son iguales, pero no veo cómo.

EDITAR: Las dos últimas igualdades son de mi libro de texto, la segunda es de la página web de Tutoriales electrónicos. Todo bajo el símbolo X_C. Enlace: http://www.electronics-tutorials.ws/filter/filter_1.html

Está bien. Entonces, lo que deduje de los comentarios es que las diferentes definiciones de

X_{L C} a norte d Z_{L C}

$X_{LC}\ \ and\ \ Z_{LC}$ se utilizan en diferentes lugares. Tenía la impresión de que X, de manera obligatoria, siempre tenía la unidad compleja dentro y siempre era una cantidad imaginaria pura. Aunque no es cierto. Los ejemplos en mi libro de texto ahora tienen más sentido porque parece que usa Z como la parte imaginaria y X como la im mixta. y parte real.

Cuajada

La pregunta sobre la igualdad de las fórmulas con j en denominador y -j en numerador puede explicarse fácilmente por j²=-1. Simplemente expanda las fracciones por j y obtendrá la otra fórmula.

Cuajada

En cuanto a la otra igualdad, hay que decir algo sobre el contexto. ¿ Dónde encontraste exactamente esta igualdad? ¿En dos contextos diferentes (libros)? Entonces tienes que mirar de cerca cómo

X_{C}

$X_C$ se define en cada uno de ellos.

tim m

Y la j que falta en la primera fórmula también se puede explicar fácilmente: debería estar allí. Todo lo que muestra j es que el valor escalar que obtienes de la fórmula está en el eje imaginario. Eso es porque es una reactancia, no una resistencia.

E.l4d3

Agregar la información a OP

Cuajada

@Tim Mottram: No necesariamente; depende de la definición. por ejemplo aquí

X_{C}

$X_C$ se define como una cantidad real (que necesita ser multiplicada por

j

$j$ para formar la parte imaginaria de una cantidad compleja llamada impedancia). Es por eso que estaba preguntando por el contexto de ambas fórmulas.

E.l4d3

Pensé que era obligatorio escribir R como resistencia real, Z como impedancia y X como reactancia.

Cuajada

@user80556: está bien, pero ¿cómo defines X? ¿Z = R + X (donde X es una cantidad imaginaria) o Z = R + jX (donde X es una cantidad real)? Me parece que estás mezclando ambas variantes de definiciones de X.

Cuajada

@ user80556: proporcionó un enlace donde encontró la primera fórmula. pero donde encontraste

X_{C} = \frac{- j}{ω C}

$X_C= \frac{-j}{\omega C}$ ?

Chu

X_{L} = ω L

$X_L = \omega L$ ;

X_{C} = \frac{1}{ω C}

$X_C = \frac{1}{\omega C}$ . En forma compleja:

j X_{L}

$jX_L$ y

- j X_{C}

$-jX_C$ , o

0 + j X_{L}

$0+jX_L$ y

0 - j X_{C}

$0-jX_C$ si quieres ser pedante. También

R = R + j 0

$R=R+j0$ .

Cuajada

Por supuesto; pero eso no es lo que OP ha dado. Por eso (todavía) estoy preguntando: ¿de dónde sacó

X_{C} = \frac{- j}{ω C}

$X_C=\frac{-j}{\omega C}$ ¿de? Nadie puede explicar la "relación entre igualdades" si esas "igualdades" son incorrectas (o al menos se basan en definiciones contradictorias).

Chu

@Curd, ¿lo anterior está destinado a mí? Solo estaba respondiendo al OP, que claramente contiene errores.

Cuajada

@Chu: estaba destinado a ti (e indirectamente también a OP). Si su comentario está destinado a OP, lo entiendo y estoy totalmente de acuerdo :-)

Respuestas (1)

Explicación de fórmula de reactancia compleja

La pregunta sobre la igualdad de las fórmulas con j en denominador y -j en numerador puede explicarse fácilmente por j²=-1. Simplemente expanda las fracciones por j y obtendrá la otra fórmula.
En cuanto a la otra igualdad, hay que decir algo sobre el contexto. ¿ Dónde encontraste exactamente esta igualdad? ¿En dos contextos diferentes (libros)? Entonces tienes que mirar de cerca cómo $X_C$ se define en cada uno de ellos.
Y la j que falta en la primera fórmula también se puede explicar fácilmente: debería estar allí. Todo lo que muestra j es que el valor escalar que obtienes de la fórmula está en el eje imaginario. Eso es porque es una reactancia, no una resistencia.
@Tim Mottram: No necesariamente; depende de la definición. por ejemplo aquí $X_C$ se define como una cantidad real (que necesita ser multiplicada por $j$ para formar la parte imaginaria de una cantidad compleja llamada impedancia). Es por eso que estaba preguntando por el contexto de ambas fórmulas.
Pensé que era obligatorio escribir R como resistencia real, Z como impedancia y X como reactancia.
@user80556: está bien, pero ¿cómo defines X? ¿Z = R + X (donde X es una cantidad imaginaria) o Z = R + jX (donde X es una cantidad real)? Me parece que estás mezclando ambas variantes de definiciones de X.
@ user80556: proporcionó un enlace donde encontró la primera fórmula. pero donde encontraste $X_C= \frac{-j}{\omega C}$ ?
$X_L = \omega L$ ; $X_C = \frac{1}{\omega C}$ . En forma compleja: $jX_L$ y $-jX_C$ , o $0+jX_L$ y $0-jX_C$ si quieres ser pedante. También $R=R+j0$ .
Por supuesto; pero eso no es lo que OP ha dado. Por eso (todavía) estoy preguntando: ¿de dónde sacó $X_C=\frac{-j}{\omega C}$ ¿de? Nadie puede explicar la "relación entre igualdades" si esas "igualdades" son incorrectas (o al menos se basan en definiciones contradictorias).
@Curd, ¿lo anterior está destinado a mí? Solo estaba respondiendo al OP, que claramente contiene errores.
@Chu: estaba destinado a ti (e indirectamente también a OP). Si su comentario está destinado a OP, lo entiendo y estoy totalmente de acuerdo :-)

Jan Eerland · Answer 1

Para un condensador, existe la relación:

\begin{matrix} (1) & I_{C} (t) = C \cdot \frac{d V_{C} (t)}{d t} \end{matrix}

$\text{I}_\text{C}\left(t\right)=\text{C}\cdot\frac{\text{d}\text{V}_\text{C}\left(t\right)}{\text{d}t}\tag1$

Considerando que la señal de voltaje es:

\begin{matrix} (2) & V_{C} (t) = V_{pag} pecado (ω t) \end{matrix}

$\text{V}_\text{C}\left(t\right)=\text{V}_\text{p}\sin\left(\omega t\right)\tag2$

Resulta que:

\begin{matrix} (3) & \frac{d V_{C} (t)}{d t} = ω V_{pag} porque (ω t) \end{matrix}

$\frac{\text{d}\text{V}_\text{C}\left(t\right)}{\text{d}t}=\omega\text{V}_\text{p}\cos\left(\omega t\right)\tag3$

Y por lo tanto:

\begin{matrix} (4) & \frac{V_{C} (t)}{I_{C} (t)} = \frac{V_{pag} pecado (ω t)}{ω C V_{pag} porque (ω t)} = \frac{pecado (ω t)}{ω C pecado (ω t + \frac{π}{2})} \end{matrix}

$\frac{\text{V}_\text{C}\left(t\right)}{\text{I}_\text{C}\left(t\right)}=\frac{\text{V}_\text{p}\sin\left(\omega t\right)}{\omega\text{C}\text{V}_\text{p}\cos\left(\omega t\right)}=\frac{\sin\left(\omega t\right)}{\omega\text{C}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)}\tag4$

Esto dice que la relación entre la amplitud del voltaje de CA y la amplitud de la corriente de CA en un capacitor es $\frac{1}{\omega\text{C}}$ , y que el voltaje de CA se retrasa con respecto a la corriente de CA a través de un capacitor en $90$ grados (o la corriente alterna conduce el voltaje de CA a través de un condensador por $90$ grados).

Este resultado se expresa comúnmente en forma polar como:

\begin{matrix} (5) & Z_{C} = \frac{1}{ω C} \cdot {mi}^{- \frac{π}{2} \cdot j} \end{matrix}

$\text{Z}_\text{c}=\frac{1}{\omega\text{C}}\cdot e^{-\frac{\pi}{2}\cdot\text{j}}\tag5$

O, aplicando la fórmula de Euler, como:

\begin{matrix} (6) & Z_{C} = - j \cdot \frac{1}{ω C} = \frac{1}{j ω C} \end{matrix}

$\text{Z}_\text{C}=-\text{j}\cdot\frac{1}{\omega\text{C}}=\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}\tag6$

Ahora para $\text{X}_\text{C}$ :

\begin{matrix} (7) & X_{C} = | - j \cdot \frac{1}{ω C} | = \frac{1}{ω C} \end{matrix}

$\text{X}_\text{C}=\left|-\text{j}\cdot\frac{1}{\omega\text{C}}\right|=\frac{1}{\omega\text{C}}\tag7$

Dónde $\omega=2\pi\text{f}$

Falta C en el denominador de la expresión del medio en (4).
@Jan Bueno, ya hice +1 en tu respuesta. Así que todo lo que puedo decir es "gracias".
@jonk Está bien y muchas gracias. Que tenga un buen día ;)

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