¿Por qué una reactancia infinita es un circuito abierto?

Mire la respuesta de un capacitor o inductor a una función de paso de voltaje. Un condensador ideal es "instantáneamente como un cortocircuito pero en estado estable como un circuito abierto"; pasa la corriente sin resistencia, pero a medida que acepta la carga, se desarrolla un voltaje que se opone a la corriente, que eventualmente cae a cero (o si quieres hacer cálculos, la corriente cae por debajo de cualquier valor finito dentro de un tiempo finito) . La cantidad de carga que un capacitor puede aceptar antes de que el voltaje aumente en cierta cantidad es proporcional a su valor. En el límite de reactancia infinita, el capacitor tiene un valor de cero, por lo que se necesitan cero culombios para cargarlo y convertirlo en un circuito abierto.

Un inductor ideal es lo contrario; es "instantáneamente como un circuito abierto pero en estado estable como un cortocircuito". La corriente es inicialmente cero y aumenta con el tiempo a medida que el voltaje en el inductor cae a cero. Cuanto mayor sea el valor del inductor, más lentamente crece la corriente para un voltaje dado. En el límite de reactancia infinita, la inductancia tiene un valor infinito, por lo que la corriente permanece en un valor de cero para siempre: un circuito abierto.

Ambos dispositivos parecen un circuito abierto en un límite de escala de tiempo y un cortocircuito en otro límite de escala de tiempo. Ambos tienen un parámetro que hace que su escala de tiempo sea más corta o más larga. La baja reactancia es la dirección que los acerca al límite donde están en cortocircuito (alta capacitancia o baja inductancia); la alta reactancia es la dirección que los acerca al límite donde están en circuito abierto (baja capacitancia o alta inductancia). La reactancia infinita es el caso límite en el que no fluye corriente durante un período de tiempo finito, al igual que no fluye corriente a través de un circuito abierto.

Imagina esto.

Ahora imagina una inductancia infinita. No aumenta, pero si es finito, lo hará muy lentamente ... Si deja que se separe muy rápido antes de que los contactos se ionicen (~ 1 us), el voltaje eventualmente se arqueará y luego oscilará con el medio dieléctrico hasta que las pérdidas absorban toda la energía. E= ½L I^2

pequeño experimento

Estoy trabajando como investigador en una gran fábrica de transformadores y tengo que depurar un transformador de 5 MVA. Quiero confirmar la inductancia primaria, que mi medidor RLC dice que es 22 Henries.

Así que saco una batería de iones de litio y la coloco en la entrada de línea nominal de 25 kV.

dI/dt = V/L = 3,7 V/22 H, por lo que espero que la corriente aumente 1 amperio cada 6 segundos.

Lo hace.

Después de 30 segundos a 5 A, me detuve y no quería esperar la saturación para que el núcleo magnético cortocircuitara la batería a un ritmo más rápido. ;)

Pero para desmagnetizar el núcleo, invierto la batería durante el mismo período de tiempo y paro.

El experimento confirmó la intuición.

Puede probar algo similar en un solenoide o un relé grande. Obtuve un gran arco cuando desconecté la batería. Obtendrá un zap más pequeño pero actual limitado por R.

En el contexto del análisis de estado estable de CA, la impedancia tiene un valor complejo. Para ciertas operaciones con números complejos (como los polinomios racionales que usamos para el análisis de circuitos*), cualquier infinito es idéntico. Es decir, no importa desde qué dirección te acerques al infinito, siempre que lo haga la magnitud. Esto es exactamente simétrico al caso cercano a cero, debido a la transformación recíproca$Y = \frac{1}{Z}$: no importa desde qué dirección se acerque a la impedancia cero, la impedancia cero es impedancia cero. De hecho, esta transformación asigna infinito a cero y viceversa. Y usamos regularmente la división, y nada más complicado que eso, así que esto básicamente lo cubre.

Finalmente, definimos la impedancia cero como un cortocircuito y la impedancia infinita como abierto.

*La resistencia es el polinomio constante Z = R, la inductancia es$j \omega L$, la capacitancia es$\frac{1}{j \omega C}$, las impedancias en serie van como$Z_1 + Z_2$, las impedancias en paralelo van como$\frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$, y algunas operaciones menos comunes y más complejas, como la transformación estrella-triángulo. Más generalmente, cualquier solución de álgebra lineal (que a su vez también es polinómica). Por lo tanto, todos los análisis de circuitos de elementos agrupados se encuentran en el dominio de los números complejos en el álgebra simple y antigua.

También podemos generalizar el análisis de un circuito de elementos agrupados utilizando álgebra lineal (análisis nodal o de malla): escribir todos los nodos/bucles y las corrientes/voltajes entre ellos en una matriz; cuyos elementos serán cero cuando no haya una conexión directa entre cualquier par dado de nodos/bucles. La solución es un polinomio dado por los elementos de la matriz (a partir de las impedancias/admitancias de los elementos) y la operación de inversión de la matriz (que en última instancia también es un polinomio).

Si no eres experto en álgebra compleja, o cálculo o análisis matemático en general, esto probablemente no signifique mucho para ti; baste decir que existen operaciones en las que puede obtener resultados que dependen del "tipo" de infinito o cero que esté mirando, o de la operación que se esté realizando. Algunos de estos se resuelven tomando límites; otras operaciones no son simétricas con respecto a infinito/cero. Pero ninguna de estas operaciones se usa aquí, por lo que la simetría cero/infinito permanece intacta para este propósito.

En CA de estado estable, el voltaje sobre un componente se describe mediante$v(t) = |\hat V|e^{j\angle \hat V}\,e^{j\omega t} = \hat V\, e^{j\omega t}$, y de manera similar, corriente a través de él por$i(t) = |\hat I|e^{j\angle \hat I}\,e^{j\omega t} = \hat I\, e^{j\omega t}$.

Si una impedancia es óhmica, existe una constante$Z\in\mathbb{C}$tal que