¿Existen teorías fundamentales de las matemáticas sin constantes?

Uno de los sistemas axiomáticos útiles más simples en matemáticas son los axiomas de Peano para los números naturales. En particular, solo tiene una única constante (el número cero).

Se podría suponer que se puede eliminar esta única constante considerando un marco axiomático para los números enteros que no tiene un valor inicial distinguido. La construcción habitual de los números enteros, que pasa por los números naturales, parece negar esa posibilidad. (Alternativamente, uno podría mostrar que tiene un modelo único, ¿es esto posible)?

ZFC también tiene constantes a través del axioma del infinito - que hay un conjunto infinito - una forma alternativa de ver esto, es que en la teoría topos, que es una teoría de conjuntos generalizada, el reemplazo del axioma del infinito es el objeto de los números naturales que es el equivalente categórico de los axiomas de peano, por lo que volvemos al primer caso mencionado anteriormente.

Ahora, un topos no necesariamente tiene un objeto de números naturales, por lo que tal vez eso podría contar como tal teoría, cuando se considera fundamental; o dado que los topos se describen a través de la teoría de categorías, tal vez la teoría de categorías, cuando se considera fundamental, sea una teoría de este tipo. ¿Es esto realmente cierto, o de hecho es un contrabando constante a través de alguna otra forma (disimulada)?

Por supuesto, hay teorías sin constantes: simplemente tome cualquier teoría y elimine cualquier referencia a las constantes; incluso podemos encontrar ejemplos útiles: un montón que esencialmente modela un grupo con su acción de conjugación (y también es, curiosamente, un ejemplo natural de una estructura matemática con una operación ternaria en lugar de binaria ); Sin embargo, la pregunta que busco es que debe tener un carácter fundamental, como ZFC, la teoría de categorías o los axiomas de Peano.

Creo que tendrás que definir lo que quieres decir con 'una constante'. En ZF, el axioma del infinito postula simplemente que hay un conjunto infinito, que nunca se nombra, y que solo se usa para certificar la existencia del conjunto vacío (y para asegurar que la teoría admite explícitamente una multiplicidad de conjuntos infinitos); pero como un dios deísta, habiendo preparado el escenario para el universo de la teoría de conjuntos, no juega ningún papel en la teoría. Ni siquiera se nombra, ni se nombra ninguna propiedad única. Dudaría en llamar a eso una constante.
¿Cómo sería una base "sin constantes"? En ZF-Infinity uno simplemente afirma la existencia del conjunto vacío; esto es obviamente una constante, porque se destaca por su propiedad singular de no tener elementos. ¿Cómo podríamos evitar que esto sea una constante fundamental, sin introducir otras constantes como en ZF? Quizás asegurándose de que algún predicado del conjunto vacío (p. ej., ∀x∈S:x≠x) dé lugar a un conjunto. Esto es exactamente lo que se hace en ZF: la propiedad es infinita (p. ej., ∃x∈S ∃f:S→S: (f es inyectiva y x∉img(f)) es un predicado que afirmamos tener (no único) ejemplares
En la teoría de modelos, uno puede ser explícito acerca de la descripción de una constante; pero quería cierta cantidad de ambigüedad, ya que no estaba muy seguro de lo que quiero decir exactamente con una constante. Por curiosidad, alguien ha examinado la situación de ZF sin el axioma del infinito, pero con el conjunto vacío afirmado. ¿Qué tan lejos estaríamos del ZF tradicional?
Parecería que es biinterpretable con PA: ver mathoverflow.net/a/555/3723
¿Qué tal tratar de definir constantes en cálculo lamda? No puedo decir mucho sobre esto, estoy empezando a aprender el tema. Además, ¿considera que VERDADERO y FALSO son constantes? Supongo que en cualquier tipo de teoría, habrá algunas constantes, ya sea que sean o no parte de su teoría básica o que sean nociones definidas, es una cuestión diferente.

Respuestas (1)

Creo que ninguna de las teorías fundamentales estándar en matemáticas hace un uso esencial de las constantes.

En el ejemplo de ZFC, no hay símbolos constantes en el lenguaje, y se considera que el lenguaje formal oficial de la teoría de conjuntos tiene solo la relación de pertenencia al conjunto ∈ y la igualdad, sin constantes. Como dice Niel en los comentarios, el axioma del infinito afirma la existencia de un objeto (un conjunto inductivo), pero esta es una afirmación de existencia que se puede hacer sin necesariamente introducir constantes.

En el caso de la aritmética, aunque las axiomatizaciones usuales de PA involucran dos constantes, una para 0 y otra para 1, de hecho ambas pueden omitirse sin sacrificar la expresibilidad de la teoría. La razón es que 0 es un objeto definible , ya que es el único número natural que no es S(x) para cualquier x y, por lo tanto, no necesitamos el símbolo constante 0 para referirnos a él. De manera similar, el número 1 se puede definir como el sucesor del objeto único que no es un sucesor, por lo que no necesitamos 1 en el lenguaje.

Entonces, parece que la respuesta a su pregunta es que sí, de hecho, existen teorías fundamentales de las matemáticas sin constantes, y las teorías fundamentales estándar de la aritmética y de la teoría de conjuntos pueden llevarse a cabo sin constantes.

¿Existen teorías fundamentales de las matemáticas sin constantes?
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