¿Existe una formulación lagrangiana válida para todos los sistemas clásicos?

En términos generales, los físicos pensaron mucho en esto justo antes de las revoluciones de la relatividad y la teoría cuántica. Heinrich Hertz redujo toda la mecánica clásica a una especie de marco lagrangiano y hamiltoniano y un nuevo principio de mínima curvatura. Ver Hertz, The Principles of Mechanics , sin copyright, http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft y Whittaker, Analytical Dynamics , pp. 254ff. Sus pensamientos resultaron ser muy útiles para la relatividad general, la mecánica ondulatoria y la teoría cuántica de campos.

Las ideas de Hertz de mínima curvatura están muy cerca de las ideas de Lagrange.

Toda la mecánica clásica se puede poner en el marco lagrangiano: si la energía no se conserva (por ejemplo, si el sistema es un sistema abierto, si hay fricción, etc.), entonces simplemente uno se ajusta para permitir un Lagrangiano variable en el tiempo.

Pero la utilidad práctica de esta formulación a veces es baja: las preguntas sobre física estadística requieren una forma diferente de ver el espacio de fase y el sistema: sus leyes de movimiento son casi irrelevantes y el tipo de información sobre las trayectorias de las partes del sistema. que te dan las ecuaciones de Lagrangian son casi inútiles, uno quiere saber cosas como sus funciones de autocorrelación, que son casi independientes de la trayectoria particular o la condición inicial elegida.

Hasta donde yo sé, la formulación hamiltoniana es incluso más general que la lagrangiana, en el sentido de que es posible que no pueda encontrar una descripción lagrangiana para un sistema en particular, que, sin embargo, puede tratarse en un marco hamiltoniano. Recuerde cómo se puede introducir el formalismo hamiltoniano: definimos momentos generalizados$p_k=\partial L/\partial \dot q_k$y nota que

, donde hay una suma en los índices$r,s$y donde hemos descompuesto la energía cinética como la suma de un término cuadrático en las velocidades generalizadas, uno lineal y uno constante (como siempre se puede hacer, dadas las restricciones holonómicas). La matriz simétrica$\{a_{ks}\}$es invertible entonces$\dot{q_s}=\phi_s(q,p,t)$. Todo esto para decir que las ecuaciones de Lagrange siempre se pueden poner en forma normal:

Podemos definir el hamiltoniano$H(q,p,t)$a través de las transformaciones habituales de Legendre y derivar las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Una vez que hemos desarrollado el formalismo hamiltoniano, podemos olvidar cómo llegamos allí y tratar el$q$'s y el$p$'s como variables independientes. ¿Es posible volver a las ecuaciones de Lagrange y demostrar que los dos formalismos son equivalentes? Sí, pero sólo bajo una condición muy general: dadas las ecuaciones de Hamilton y de Hamilton, debe ser posible expresar la$\dot{q}$'s como funciones de las coordenadas canónicas. Si es posible, defina$L=p_k\partial h/\partial p_k-H$, donde se entiende que ahora$L$se considera como una función de$(q,\dot q,t)$. Se puede demostrar a partir de aquí que entonces las ecuaciones de Lagrange también deben cumplirse. Entonces, no, no todos los sistemas mecánicos tienen una descripción lagrangiana, ya que puede comenzar con un hamiltoniano y descubrir que las relaciones que dan el$\dot q$es en términos de$(q,p)$no son invertibles. El hamiltoniano puede ser una función muy general, no necesariamente descomponible en un término cinético y potencial. Por cierto, la derivada total de$H$es igual a su derivada parcial con respecto al tiempo; entonces$H$es la energía sólo si$H=H(q,p)$, es decir, las restricciones no dependen del tiempo.

Hay algunos sistemas clásicos que no se pueden describir en el formalismo lagrangiano, por ejemplo, partículas con espín o polarización. ¡Pero para estos sistemas existe un hamiltoniano válido!

Además, se puede pasar de todos los formalismos lagrangianos al hamiltoniano (H podría ser entonces una función multivaluada). Así que el último es el "más fundamental".

(Para obtener más información, consulte Souriau: Estructura de los sistemas dinámicos: una visión simpléctica de la física, sitio XXI, p. ej., http://books.google.de/books?id=4tBrbryIKQAC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false )