¿Existe un término técnico para el "significado" de las operaciones matemáticas?

En realidad, creo que "significativo" o "físicamente significativo" en muchos casos es lo mejor que se puede obtener, aunque la palabra puede dividirse en significados más sutiles. Si pensamos en las matemáticas como un lenguaje, entonces piense en palabras que describan qué tan bien la descripción cumple con su propósito previsto . ¿La descripción matemática evoca las ideas "correctas"? Entonces, las palabras en las que te gustaría pensar son:

1. "Bien formada" o "sintácticamente correcta" , es decir , la expresión es incluso "legal" tal como la define el sistema de axiomas pertinente: las expresiones no bien formadas pueden ser$x\,-$o$y\,\times$;

2. "tautológico" ( en el sentido lógico ) , es decir, es la expresión verdadera en todas las interpretaciones posibles: puede lograr la tautología al ser un teorema en un sistema de axiomas consistente , por ejemplo. A menudo, las expresiones no serán completamente tautológicas, pero al menos pueden interpretarse como tales en el contexto muy restringido del problema o situación física en cuestión.

3. "bien motivado" o "bien respaldado" : puede haber un argumento físico de por qué la expresión propuesta es significativa en un contexto dado. También puede haber una motivación experimental: si usó la adición de cuaterniones restringida a la$<i,\,j,\,k>$subespacio para hacer cálculos estáticos, el experimento lo respaldaría.

4. "sonido" : muy a menudo, los matemáticos hacen definiciones explícitas de los objetos y cómo deben manipularse, por lo que las únicas expresiones significativas son aquellas que fluyen del sistema particular de definición / axioma: esto es muy parecido a "bien formado ". Como ejemplo, un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo/espacio vectorial igual a su dual topológico (dos definiciones equivalentes), por lo que los argumentos que fluyen de los espacios de Hilbert exigen la formación de productos internos, la formación de secuencias de Cauchy, la construcción de funcionales lineales y probarlos. para la continuidad, etc.: mi punto es que las expresiones "significativas" están definidas muy estricta, explícita y obviamente desde el principio. Los físicos a menudo hacen cosas similares: definen un "sistema de axiomas" para representar algún fenómeno físico y luego descubren "teoremas" en el sistema: en física existe el paso adicional requerido que debemos probar que nuestros teoremas inferidos están de acuerdo con la observación experimental , pero en principio es muy parecido, al menos en principio, al "axioma, definición, lema, proposición...

Tenga en cuenta que las matemáticas son en gran medida un lenguaje, y el tipo de ideas que está buscando a tientas no son diferentes a los tipos de palabras que un maestro, un especialista en desarrollo infantil o un conductista podrían usar para describir el lenguaje que presencian a medida que el bebé crece, adquiere su lengua materna, primero como secuencias y balbuceos "no legales" (al menos en nuestra forma lógica restringida de pensar), luego como oraciones simples, luego como descripciones precisas del mundo inmediato que lo rodea que conducen a historias complicadas y alegorías en las que se captan y manejan muchos conceptos a la vez y se entretejen con precisión para evocar ideas precisas en las mentes de los otros animales sociales que componen el mundo social del niño. Hay muchos matices diferentes de significado para "significativo".