¿Existe un proceso para evitar que un vicepresidente de origen no natural ocupe el cargo?

Hay algunos lugares en los que Schwarzenegger podría ser excluido del cargo de vicepresidente (para el que definitivamente no es elegible).

El lugar más probable, por supuesto, es la etapa del proceso de "aceptación del puesto de VP". Schwarzenegger sabe que no es elegible, y no hay muchas razones para pensar que intentaría postularse de todos modos.

El segundo lugar es la descalificación de las boletas estatales. La ley estatal normalmente requiere que para estar en una boleta, usted debe ser elegible para el cargo. Las juntas electorales estatales podrían tomar la iniciativa de negarse a incluir a Schwarzenegger en la boleta electoral, o se podría utilizar el proceso de impugnación de un candidato para impugnar su ubicación en la boleta electoral. Este proceso podría involucrar a los tribunales estatales , que no están sujetos a los mismos requisitos legales que los tribunales federales (los estados deciden principalmente por sí mismos qué tipo de casos pueden escuchar sus tribunales). Entre las dos primeras etapas, es poco probable que Schwarzenegger haga votos como candidato a vicepresidente. Algunas personas intentaron hacer esto por Cruz, pero fueron derribadas porque su argumento era incorrecto.

A continuación, tienes los votos populares y electorales. La elección de Trump de un compañero de fórmula ilegal posiblemente podría alejar a algunos votantes (si pierde, entonces la importancia práctica de su elección de vicepresidente es mucho menor).

Suponiendo que llegara tan lejos, hay al menos un caso en la historia de Estados Unidos en el que se emitieron votos electorales a favor de un candidato que, en el momento en que votaron los electores, era incuestionablemente inelegible para convertirse en presidente. El candidato era Horace Greeley y el año era 1872; no fue elegible porque murió entre los votos popular y electoral. Si bien la mayoría de sus electores votaron por otra persona, algunos votaron por él. La Cámara de Representantes aprobó una resolución para que no se contaran esos votos, mientras que el Senado aprobó una resolución para que se contaran; según las reglas vigentes en ese momento, eso significaba que no se contaban. El Congreso podría aprovechar este precedente y afirmar su autoridad para determinar si los candidatos presidenciales cumplen con los requisitos constitucionales,

Es casi seguro que tal decisión sería cuestionada, porque nada en la Constitución dice que el Congreso juzgue las calificaciones presidenciales (mientras que sí dice que el Congreso es el único juez de las calificaciones de sus miembros). Pero no es una posición descabellada de tomar: alguien debe poder juzgar las calificaciones, y el Congreso (como rama electa del gobierno) ya está encargado de contar los votos. Además, Schwarzenegger no está calificado, por lo que no es como si el Congreso fuera injusto .dijo que no era un candidato válido. El resultado si se descartan los votos electorales parecería ser que el candidato demócrata a vicepresidente es el único con votos electorales válidos y, por lo tanto, el único por el que se puede votar en la elección contingente que sigue a la mayoría de los votos descartados; ganarían por defecto. Pero todo esto es algo especulativo.

Esto está bastante claramente cubierto por la 12ª Enmienda de la Constitución.

ninguna persona constitucionalmente inelegible para el cargo de presidente será elegible para el de vicepresidente de los Estados Unidos

Tenga en cuenta que esto no prohíbe que nadie haga campaña para convertirse en vicepresidente. Incluso un no ciudadano puede decir "¡vote por mí!" bajo la 1ra Enmienda. Probablemente no prohíba que un partido político nomine a quien quiera (o incluso a una planta en maceta). Pero cuando una persona presenta la documentación oficial para poner su nombre en la boleta, la autoridad pertinente (p. ej., la Junta Electoral) debe rechazar a los candidatos no elegibles.

Según http://www.constitution.org/abus/pres_elig.htm (sección Remedios):

Casi la única forma de presentar una impugnación ante la Corte Suprema sería conseguir que algún secretario de estado se negara a certificar los votos electorales del candidato no elegible. Eso daría pie al candidato y a los partidos opositores.

Esta fuente parece pensar que los tribunales podrían negarse a escuchar un caso de este tipo hasta que un candidato esté realmente en la boleta electoral, o tal vez ni siquiera hasta que gane la elección. Pero llegados a ese punto, es casi seguro que el fallo iría en su contra. Dado que el Presidente del Tribunal Supremo administra el juramento del cargo, es muy poco probable que SCOTUS rechace su jurisdicción.