Estructura de la renormalización masiva

Un término de masa en el tensor de energía propia del fotón se vería así$Ag^{\mu\nu}$, dónde$A$se aproxima a una constante como$q^{2}\rightarrow0$. Lo importante no es el grado de divergencia de$A$, sino la estructura de Lorentz del término. En particular, un término de la forma$Bq^{2}g^{\mu\nu}$no es un término masivo; cuando se contrae con los campos externos$A^{\mu}$y$A^{\nu}$y transformado de vuelta al espacio real, da un término en la acción efectiva que parece$A^{\mu}\partial^{2}A_{\mu}$(mientras que un término de masa implicaría$\frac{1}{2}m_{\gamma}^{2}A^{2}$).

La identidad de Ward asegura que la energía propia sea proporcional a$C(q^{2}g^{\mu\nu}-q^{\mu}q^{\nu})$. Es esta estructura de Lorentz (sin$q$-término independiente), no el grado de divergencia, que asegura que no hay masa fotónica. Intercalar este tensor de autoenergía entre campos externos, transformarlo nuevamente en espacio de posición e integrarlo por partes da la contribución de este término a la acción efectiva, que tiene el mismo$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$forma como la acción habitual de Maxwell.

Sin embargo, la estructura garantizada por la identidad de Ward también asegura que no haya divergencia cuadrática. Por razones dimensionales, cada factor del momento externo$q$que aparece en la autoenergía significa que no apareció el posible factor del momento del bucle. Tener una energía propia con dos poderes de$q$significa que dos posibles potencias del momento lineal$\ell$no aparecen en el numerador de la integral, reduciendo en dos el grado de divergencia de la integración.

Hay una advertencia.$C$es una función de$q^{2}$, y si tiene un polo en$q^{2}=0$, los dos argumentos anteriores fallan. Como afirman Peskin y Schroeder, es posible probar que el polo no existe, pero el argumento no es simple y es específico para 3+1 dimensiones. (En dimensiones 1+1, con fermiones sin masa, hay un polo, por lo que hay una masa fotónica generada por radiación).