Estructura de escalera de d>d>d>2 CFT

La acción del generador de dilatación.$D$en un operador primario de dimensión$\Delta$,$\mathcal{O}_{\Delta}(0)$, es dado por

$$\left[D,\mathcal{O}_{\Delta}(0)\right] = -i\Delta\mathcal{O}(0). \,\,\,\, (1)$$ Pero la subálgebra del operador de escalera $$[D,P_\mu] = iP_\mu\,\,\,\, (2a)$$ $$[D,K_\mu]=-iK_\mu\,\,\,\, (2b)$$ $$[K_\mu,P_\nu] = 2i(g_{\mu\nu}-M_{\mu\nu}),\,\,\,\, (2c)$$ parece implicar que $P_\mu$reduce la dimensión de escala, en lugar de aumentarla: $$DP_\mu|\Delta\rangle = ([D,P_\mu]+P_\mu D)|\Delta\rangle = (iP_\mu-i\Delta P_\mu)|\Delta\rangle=-i(\Delta-1)P_\mu|\Delta\rangle. \,\,\,\, (3)$$

Las cosas salen como deberían si tenemos en cuenta que

$$D|\Delta\rangle=i\Delta|\Delta\rangle,\,\,\,\, (4)$$ como se hace en, por ejemplo, las notas de clase de Qualls en la página 39: https://arxiv.org/abs/1511.04074 . el tambien usa $(1)$en la página 30.

Por un tiempo pensé que era solo un cambio de convención menor, ya que la dimensión de escala debe ser positiva (de lo contrario, las correlaciones crecerían con la distancia), entonces parecería natural hacer una definición$(4)$, aunque durante la discusión de la representación de$D$se definiría con un menos, ver$(1)$. Si este fuera el caso, entonces este signo global podría absorberse como una fase global, pero debido a que el álgebra de escalera no se ve afectada, el relativo menos en$\Delta-1$en la ecuación$(3)$persistiría.

¿Entonces qué está pasando? Cualquier orientación sería apreciada!