Estricta definición matemática general de arrastre

El arrastre de un fluido que actúa sobre un objeto en el interior es el flujo de cantidad de movimiento a través del límite del objeto. La ley de conservación del momento es todo el contenido de la ecuación de Navier Stokes, que se puede escribir en forma integral:

$${\partial\over \partial t} \int_R \rho v^i = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P \hat{n} + \nu(\rho) \nabla v^i )\cdot \hat{n}$$

Dónde$\hat{n}$es la normal a la frontera de$R$,$P$es la presión,$\nu$es la viscosidad (en función de la densidad$\rho$), y v es la velocidad. El lado izquierdo dice que está viendo el flujo del componente i total de la cantidad de movimiento fuera de la región R. El primer término a la derecha es la cantidad física de cantidad de movimiento que sale del límite de R por el flujo del fluido. El último término es el flujo de cantidad de movimiento a través del límite de R debido a las fuerzas en el borde.

Usando el teorema de la divergencia, aprendes que

$$\int_R {\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P - \nabla\cdot(\nu \nabla v^i ) d^dx = 0$$

Y concluye que las ecuaciones NS se cumplen.

$${\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P -\nabla \cdot (\nu \nabla v^i)$$

Si expande esto y usa la ecuación de continuidad, recuperará las formas más estándar, pero esta es la forma en la que es más transparente una ecuación de continuidad para el flujo de momento.

Como puede ver, el flujo de la componente i de la cantidad de movimiento hacia cualquier región R debido al fluido, que es la componente i-ésima de la fuerza ejercida por el fluido sobre lo que sea que esté dentro de R, está dada por la integral de frontera

$$F^i_R = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P\hat{n} + \nu \nabla v^i) \cdot \hat{n}$$

Para el caso en el que tiene un objeto sólido que el fluido no puede penetrar, la velocidad es perpendicular a la superficie del objeto y el primer término es cero (obviamente, el primer término describe el impulso que lleva el fluido, y esto no es así). ingresando R).

Entonces, el arrastre es la integral de dos términos a través de la superficie, la presión a través del objeto, que te dice cuánto está empujando el objeto para que el agua gire, y el gradiente de la velocidad, que describe cómo la viscosidad tira del objeto. objeto. Para un objeto en movimiento, esto funciona en un instante para decirle cuánto impulso entra o sale del objeto, que es la fuerza de arrastre instantánea.

Primero considere el flujo laminar y luego considere la capa límite de fluido cerca de los sólidos. Para casos simples, use el Navier-Stokes incompresible para encontrar el equilibrio de fuerza que producirá su fuerza de arrastre. Por lo general, esto se hace a través del software CFD (Dinámica de fluidos computacional).

Dudo que pueda resolver su problema a mano, ya que solo es factible para los casos más simples donde las líneas de flujo son paralelas a la geometría y la integración es posible.