Estados de productos tensoriales en QM

En QM, usamos productos tensoriales para construir el espacio vectorial de los estados de un sistema de múltiples partículas, pero esa construcción no parece tener una contraparte en la mecánica clásica. En QM, parece ser necesario poder representar estados entrelazados.

¿Se considera un “postulado” sobre cómo representar los estados de sistemas multipartícula en QM? ¿Es correcto que no tiene un equivalente en la mecánica clásica, donde nos contentamos con usar sumas directas de espacios vectoriales?

Respuestas (3)

Sí, este es uno de los postulados de la mecánica cuántica. Por ejemplo, véase la sección 2.2 de Nielsen y Chuang, Quantum Information and Quantum Computation , donde este es el postulado 4.

El postulado del producto tensorial no es en absoluto incompatible con la mecánica clásica. Considere dos partículas en R 3 . En mecánica cuántica, el espacio de estado para ambos es

H = L 2 ( R 3 ) ⊗ L 2 ( R 3 ) ≅ L 2 ( R 6 ) .
Cuando tomamos el límite clásico, el espacio de Hilbert L 2 ( R norte ) da el espacio de configuración R norte , y
R 3 ⊕ R 3 = R 6 .
Es decir, la regla para combinar espacios de configuración en la mecánica clásica es solo un límite de la regla cuántica, no se elige de forma independiente.

Realmente no lo calificaría como un postulado, para ser honesto. Si el espacio de configuración de dos partículas dadas es C = C 1 × C 2 entonces el espacio de estado correspondiente se puede calcular para ser L 2 ( C ) = L 2 ( C 1 × C 2 ) = L 2 ( C 1 ) ⊗ L 2 ( C 2 ) . Tampoco hay necesidad de apelar a ningún límite clásico: es solo el espacio de Hilbert correcto correspondiente al espacio de configuración clásico (combinado) habitual.
@EmilioPisanty Claro, ¡supongo que puede ir de cualquier manera!
@EmilioPisanty: por "postulado" quise decir que alguien tiene que decidir cuál es la forma correcta de combinar los espacios de partículas individuales para obtener el espacio correcto para el sistema combinado. Si no tuviéramos que dar cuenta de los estados entrelazados (si ese fenómeno no existiera), ¿podríamos haber optado por representar el espacio del sistema combinado con un ⊕ preferible a ⊗ ?
@Frank Eso sería inconsistente con los postulados anteriores. Si acoplas "el espacio de Hilbert es L 2 sobre el espacio de configuración clásico" y "el espacio de configuración de dos sistemas con espacios de configuración C 1 y C 2 es C = C 1 × C 2 , exactamente como lo es en la física clásica" (en sí misma una afirmación completamente incontrovertible), entonces naturalmente obtienes un espacio de estado del producto tensorial (como un teorema) y naturalmente obtienes un entrelazamiento. Si insistes en una suma vectorial de espacios de estado, entiende que, por ejemplo, el espacio de estado de una partícula en 2D no es L 2 encima R 2 .
Entonces, parece que el entrelazamiento "viene del" primer postulado que das ("el espacio de Hilbert es L2 sobre el espacio de configuración clásico"), ya que el segundo ya está en la física clásica, que no tiene entrelazamiento. El primer postulado exige ⊗ por consistencia, y que obliga a la existencia de entrelazamiento?
¡Gracias por su respuesta y la referencia Niels y Chuang! La pregunta también ha estado en mi mente durante bastante tiempo. Lo sorprendente es que la mayoría de los autores de QM que enumeran los "postulados de QM" no lo incluyen, algunos otros sí.

Creo que el uso del espacio vectorial del producto tensorial generado por el producto tensorial de los espacios vectoriales de estado de los subsistemas es un postulado distinto agregado a los otros postulados de QM.

PD: Por ejemplo, lo he encontrado como un postulado distinto en: Valter Moretti, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course, 2016. El autor también participa en el intercambio de pila de física.

PPS: He encontrado algunas preguntas relacionadas aquí . Sin embargo, si la respuesta afirma que se trata de un postulado, no parece estar claro.

He agregado un enlace a un artículo de @Valter Moretti donde esto figura como un postulado de QM.

El postulado básico es este: la descripción de un sistema es el conjunto de amplitudes de probabilidad para cada resultado posible de la medición del sistema.

Si un sistema clásico consta de dos subcomponentes, cada uno de los cuales puede admitir N posibles resultados de medidas, entonces podemos describir el sistema con 2N valores.

Por otro lado, si un sistema cuántico consta de dos subcomponentes, cada uno de los cuales puede admitir N posibles resultados de medidas, entonces necesitamos N x N valores, uno para cada combinación posible de resultados de un solo sistema.

Imagine un sistema compuesto por dos bolas distinguibles, cada una de las cuales es roja, verde o azul. Podríamos, por ejemplo, especificar el vector de estado de una pelota como estas amplitudes de probabilidad:

rojo = 0,70

Verde = 0,57

Azul = 0,41

de modo que las probabilidades (las amplitudes de probabilidad al cuadrado) de cada color son rojas, 0,5; verde, 0,33; azul, 0,17.

Para el sistema de dos bolas, la descripción clásica consistiría simplemente en tres amplitudes para cada bola.

Pero en QM, para especificar el estado del sistema de dos bolas, necesitaríamos especificar un valor para cada una de las combinaciones de resultados 3 x 3 = 9, por ejemplo:

rojo, rojo = 0,33

verde, verde = 0,33

azul, azul = 0,33

rojo, verde = 0,33

verde, rojo = 0,33

rojo, azul = 0,33

azul, rojo = 0,33

verde, azul = 0,33

azul, verde = 0,33

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