Digamos que tengo un espacio de Hilbert (ya sea de dimensión finita o con una base contable infinita) con un hamiltoniano especificado , que representa algún sistema cuántico. ¿Bajo qué condiciones puedo factorizar en componentes del producto tensorial, es decir, encontrar espacios de Hilbert? y tal que
y hamiltonianos y tal que
?
La idea es averiguar si un sistema cuántico se puede factorizar en dos subsistemas que no interactúan.
Para casos simples, como tratar de descomponer un espacio de Hilbert 4D en dos sistemas de qubit, puedo escribir ecuaciones para elementos de matriz de en términos de elementos de la matriz de y de forma arbitraria para ver cuándo son solucionables, pero me pregunto si existe una teoría más general para sistemas más grandes con algo de intuición física detrás.
(Editar: también debo señalar que la elección de la base es importante para decidir si puede hacer esto o no, por lo que asumo que para que esta pregunta esté bien definida debe proporcionar alguna estructura adicional. Por ejemplo, como yo entiéndalo, este artículo analiza qué estructura se necesita para una factorización de un espacio de Hilbert en productos tensoriales, y sugiere que se debe elegir una colección de subálgebras de observables que satisfagan ciertos axiomas para definir una "estructura de producto tensorial" independiente de la base) .
Pensé que me encontré con un artículo que discutía este tipo de problema cuando buscaba información sobre un tema diferente en la literatura hace varios meses, pero desafortunadamente no puedo recordar suficiente información sobre el artículo que vi para encontrarlo de nuevo o incluso el correcto. palabras clave para buscar en caso de que "factorización del producto tensorial" no sea la terminología correcta para lo que estoy tratando de hacer.
También me interesaría conocer las respuestas a las generalizaciones de esta pregunta para las cuales los dos subsistemas pueden interactuar entre sí, pero solo débilmente, con algo como
para una interacción eso es "pequeño" en algún sentido.
Esto es posible si el espectro del hamiltoniano (incluidas las multiplicidades de valores propios) se puede escribir como la suma de otros dos espectros. Entonces no depende de una base.
La respuesta de jjcale lo hace bien. Pero déjame elaborar un poco. Básicamente has preguntado:
Dado un hamiltoniano abstracto, ¿cuándo podemos factorizar el espacio de Hilbert de modo que el hamiltoniano no interactúe con respecto a esa elección de grados de libertad?
Esta es una pregunta interesante porque estamos preguntando qué hamiltonianos tienen una descripción particularmente simple en términos de partes que no interactúan.
Puede caracterizar explícitamente a los hamiltonianos cuando esto sea posible, especificando las condiciones necesarias y suficientes en sus espectros: eso es lo que respondió jjcale. Por supuesto, solo los hamiltonianos muy especiales tendrán esta propiedad.
Mientras tanto, puede hacer la pregunta más general:
Dado un hamiltoniano abstracto, ¿cuándo podemos factorizar el espacio de Hilbert de modo que el hamiltoniano esté interactuando localmente con respecto a esa elección de grados de libertad?
La respuesta a esta pregunta más general es nuevamente que solo los hamiltonianos especiales tienen esta propiedad. Es decir, solo los hamiltonianos muy especiales permiten una factorización del espacio de Hilbert tal que el hamiltoniano parece una suma de términos de interacción local. Entonces, la pregunta más interesante es: cuando un hamiltoniano permite tal factorización, ¿es único? La respuesta es esencialmente "sí, la mayor parte del tiempo".
Sí, aquí estoy haciendo un complemento: mis coautores y yo abordamos esta pregunta en " Localidad del espectro ".
Entonces, cuando tiene un hamiltoniano abstracto que permite una factorización tensorial del espacio de Hilbert de modo que el hamiltoniano parezca local, esta factorización suele ser única y le brinda algo así como una base preferida donde el hamiltoniano es local.
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