Estados cuánticos como rayos en lugar de vectores.

No hay un nuevo significado físico particularmente interesante para dicho vector de estado. Como ya dijiste, representa exactamente el mismo estado físico . La única diferencia es que, al elevar el módulo al cuadrado, el nuevo estado da una distribución de probabilidad no normalizada sobre los posibles resultados de medición. Puede extraer fácilmente la probabilidad de obtener un resultado de medición correspondiente al estado (posiblemente no normalizado)$|\phi\rangle$de un estado no normalizado$|\psi\rangle$usando la regla de Born:

$$\mathrm{Pr}(\phi) = \frac{|\langle \phi | \psi \rangle |^2}{\langle \phi | \phi \rangle \langle \psi | \psi \rangle }.$$ Claramente, el uso de estados normalizados es solo una convención útil que evita cualquier preocupación sobre el cálculo del denominador anterior. No hay nada de malo en formular la mecánica cuántica sin normalizar los vectores de estado a la unidad. De hecho, la mayoría de la gente evita preocuparse por los factores de normalización generales hasta que se necesitan al final del cálculo, ya que solo agregan un desorden desagradable a las matemáticas y no tienen importancia física.

Permítanme primero considerar un nivel finito$N$-sistema dimensional cuyos estados puros son$N$vectores dimensionales. Todos los resultados de la mecánica cuántica se pueden obtener de manera equivalente considerando vectores de estado normalizados que abarcan la unidad$2N-1$-esfera o el espacio de estado de los rayos que atraviesan la$N-1$espacio proyectivo complejo dimensional $CP^{N-1}$. Sin embargo, en muchos aspectos, la segunda opción (rayos) es más simple y natural (aunque no se enseña en los cursos de introducción a la mecánica cuántica), porque el espacio proyectivo complejo es una variedad compleja y el campo complejo es algebraicamente cerrado. Por lo tanto, al trabajar con rayos tenemos a nuestra disposición las poderosas herramientas del análisis complejo y la geometría.

Además, el espacio proyectivo complejo es una variedad simpléctica, lo que hace que los conceptos de cuantización y la transición clásica cuántica sean más naturales. Así, en la imagen de rayos, cada sistema cuántico tiene una contraparte clásica natural (una variedad simpléctica), que no es fácil de describir en una imagen real.

Un ejemplo destacado es el espín, que no es fácil de describir clásicamente en la primera imagen (real), mientras que en la imagen compleja tiene una descripción muy simple como un sistema que tiene la esfera bidimensional como su espacio de fase, consulte, por ejemplo, la sección sobre el cuantización de$S^2=CP^1$en el siguiente trabajo de Vathsan. Esta cuantificación se generaliza a sistemas más complejos en los que el tratamiento de imágenes complejas es más favorable; consulte, por ejemplo, el siguiente trabajo de Borthwick.

La cuantización en la imagen compleja es especialmente favorable cuando el espacio de fase posee una estructura Kähler . Las variedades de Kähler se volvieron relevantes para muchos tratamientos muy modernos en física, por ejemplo, muchos espacios de módulos como (espacios de Calabi-Yau) son Kähler, consulte esta revisión de Martin Schlichenmaier. Las variedades compactas de Kähler describen la mecánica clásica de los grados de libertad internos (nuevamente generalizando el caso de espín).

La cuantización de Kähler también funciona cuando el número de estados se vuelve infinito, como en el caso del oscilador armónico. En este caso, el espacio de cuantización se convierte en el espacio de Bargmann, consulte la sección 3.1 en la siguiente revisión de Todorov.

La cuantización de Kähler también se utilizó para cuantificar variedades de dimensión infinita relevantes en la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. Uno de los ejemplos más conocidos es la cuantización de Kähler de$Diff(S^1)/S^1$por Bowick y Rajeev