¿Esta nave espacial chocará con la estrella? (dilatación del tiempo) [duplicado]

1. En el marco de la Tierra, hay una estrella a 4 años luz de la Tierra, que se convertirá en una enana blanca en 3 años. Una nave espacial viaja al inicio a gran velocidad.$v=\sqrt3/2\approx .866$. (Todas las velocidades se expresan como múltiplos de la velocidad de la luz).

2. Cuando la nave espacial deja la tierra, digamos que el observador de la tierra y el observador de la nave espacial ponen sus relojes a cero. Aquí hay tres eventos:

A: La nave espacial deja la tierra.

B: La estrella se convierte en una enana blanca.

C: La nave espacial llega a la estrella.

3. En el marco de la tierra, estos tienen las siguientes coordenadas:

A: $t=0$,$x=0$

B: $t=3$,$x=4$

C: $t=4/v\approx 4.62$,$x=4$

4. Transformación de Lorentz a la estructura del barco:

A: $t'=0$,$x'=0$

B: $t'=6-4\sqrt3\approx -.928$,$x'=8-3\sqrt3\approx 2.804$

C: $t'=4/\sqrt3\approx 2.309$,$x'=0$

Como puede ver, el orden de los eventos en el marco de la tierra es primero$A$, entonces$B$, entonces$C$(el barco deja la tierra, luego la estrella explota, luego el barco llega a la estrella). El orden de los eventos en el marco del barco es primero$B$(ocurriendo .928 años antes$A$), entonces$A$, entonces$C$(la estrella explota, luego el barco deja la tierra, luego el barco llega a la estrella).

Así que todos están de acuerdo en que la estrella explota antes de que llegue la nave. Deberíamos haber sabido esto incluso antes de calcular porque$B$y$C$están separados como el espacio.

Este es esencialmente un problema de tarea elemental y estoy un poco avergonzado de mí mismo por responderlo, pero quiero que veas que si tomas la mitad del tiempo que has estado gastando en estas preguntas y lo dedicas a aprender relatividad, fácilmente ser capaz de hacer esto por ti mismo.

Es un problema de sincronización. Cuando los dos observadores sincronizan sus relojes en la Tierra (supongamos que el viajero acelera casi instantáneamente para alcanzar su máxima velocidad aún en la Tierra), la estrella actual para el viajero está en el futuro para la persona en la Tierra. Entonces, para el viajero, el tiempo que le queda para explotar es más pequeño que de otra manera. Imagina que la estrella se convierte en una gigante roja antes de explotar. Esto quiere decir que en el momento de la sincronización, es posible que para el observador terrestre la estrella aún se encuentre en etapa normal, pero para el viajero ya estará en etapa de gigante roja. Cuando sincronizan su reloj en la Tierra, los objetos lejanos seguirán estando desincronizados. Entonces la estrella explotará antes de que la nave espacial colisione, para ambos observadores, por supuesto. Ambos observadores estarán de acuerdo en un solo evento en el espacio-tiempo,

Regla #1 cuando no puedes descifrar lo que está pasando en un problema de relatividad especial: dibuja un diagrama de espacio-tiempo. Esta es, con mucho, la mejor manera de entender lo que sucede en la mayoría de las paradojas de la relatividad especial. Si desea comprender realmente lo que sucede con la relatividad especial, en lugar de simplemente aprender algunas fórmulas contrarias a la intuición, le recomiendo aprender sobre los diagramas de espacio-tiempo. Aquí hay un buen conjunto de notas de conferencias de Stanford sobre cómo construirlas y cómo interpretarlas. No son difíciles (un estudiante de secundaria como tú debería poder entenderlos) y lo hacen todo mucho más claro.

Para su situación, denotamos los eventos de la siguiente manera:

• Evento$A$: la nave espacial pasa por la Tierra. (Supondremos, por simplicidad, que está pasando a toda velocidad por la Tierra en lugar de acelerar desde el reposo).
• Evento$B$: la estrella colapsa en una enana blanca.
• Evento$C$: la nave espacial pasa por la ubicación de la estrella/enana blanca.
• Evento$D$: la "cuenta regresiva" hasta que comienza el colapso de la estrella. En el marco de la Tierra, esta cuenta regresiva dura tres años.

Lo que vemos, cuando construimos este diagrama, es que los eventos que le preocupan suceden en un orden diferente en el marco de la nave espacial. En el marco de la Tierra, suceden de la siguiente manera:

1. La nave espacial pasa por la Tierra (Evento$A$). Simultáneamente, comienza la cuenta regresiva para el colapso de la estrella (Evento$D$).

2. La estrella colapsa (Evento$B$.)

3. La nave espacial pasa por la ubicación de la estrella, ahora una enana blanca (Evento$C$.)

Pero en el marco de la nave espacial, los eventos suceden en el siguiente orden:

1. Comienza la cuenta atrás para el derrumbe (Evento$D$.)

2. La estrella colapsa en una enana blanca (Evento$B$.)

3. La nave espacial pasa por la Tierra (Evento$A$.)

4. La nave espacial pasa por la ubicación de la estrella, ahora una enana blanca (Evento$C$.)

En el marco de referencia de la nave, la "cuenta atrás" hasta el colapso lleva mucho más tiempo que el viaje desde la Tierra hasta la ubicación de la estrella. Podemos ver esto en el diagrama: hay mucha más distancia a lo largo del$t'$eje entre$D$y$B$de lo que hay entre$A$y$C$. Pero en el marco de referencia de la nave, la cuenta regresiva también comienza (¡y termina!) mucho antes de que la nave pase por la Tierra. Entonces, no hay paradoja con los eventos que suceden "fuera de orden".