Espinores en 2+1 dimensiones

El teorema de la estadística de espín se cumple en todas las dimensiones del espacio-tiempo mayores que dos. Las definiciones correctas de giro "medio entero" o "entero" en dimensión general es simplemente cómo el operador de rotación de una rotación completa,$R(2\pi)$está representado: las representaciones de "giro entero" o "bosónico" lo tendrán como la identidad, mientras que las representaciones "medio entero" o "fermiónicas lo tendrán como menos la identidad. Más formalmente, las representaciones fermiónicas son aquellas que son representaciones del doble cubierta del grupo de Lorentz que no descienden a representaciones del grupo de Lorentz real. Si examina la prueba del teorema de la estadística de espín, verá que, de hecho, es el comportamiento del grupo de Lorentz.$2\pi$rotación que es crucial, no que el giro sea "medio entero".

Hablar de "girar arriba/abajo" en otras dimensiones que no sean 3+1 es realmente difícil en representaciones generales. Estamos acostumbrados a hablar de espín en 3+1 porque el álgebra de Lorentz$\mathfrak{so}(1,3)$tiene una equivalencia accidental para sus representaciones de dimensión finita a$\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$, es decir, dos copias del álgebra de rotación. El álgebra de las rotaciones físicas reales se incrusta diagonalmente en estas, y etiquetamos una representación de dimensión finita del álgebra de Lorentz así por dos giros$(s_1,s_2)$donde el espín físico total es$s_1+s_2$. El espinor de Dirac en 4D es$(0,1/2)\oplus(1/2,0)$, la suma de los espinores de Weyl zurdos y diestros.

Sin embargo, la representación de Dirac tiene una noción de giro hacia arriba/abajo: puede agrupar el álgebra de Clifford de las matrices gamma en pares de operadores ascendentes/descendentes (el último permanece sin emparejar en dimensiones impares y es similar a un operador de paridad) , y la representación de Dirac es la única (o, en dimensiones impares, una de las dos únicas)$2^{\lfloor d/2\rfloor}$Representación irreducible -dimensional de este álgebra, en la que los estados básicos están etiquetados por "giros"$s_1,\dots,s_{\lfloor d/2\rfloor}\in\{\pm 1/2\}$y el$i$-th apir de los operadores de subida/bajada sube/baja$s_i$. Para obtener más información sobre la construcción de la representación de Dirac en dimensiones arbitrarias, consulte esta pregunta y esta pregunta .

Para una interpretación física, los espinores son como vectores con una fase. Steane, en su Introducción a los espinores , describe a los espinores como astas de bandera con banderitas rígidas unidas a ellas. De lo contrario, los espinores tienen muchas similitudes con los vectores, tienen una dirección y una magnitud y no son inherentemente mecánicos cuánticos, y existe una formulación de espinores de electrodinámica.