¿Espectros misteriosos?

En mi entrada de blog ¿Por qué riemannium? , introduje la siguiente idea. El pozo de potencial infinito en la mecánica cuántica, el oscilador armónico y el problema de Kepler (similar al hidrógeno) tienen espectros de energía, respectivamente, iguales a

1)

mi ∼ norte 2
2)
mi ∼ norte
3)
mi ∼ 1 norte 2

¿Conoces sistemas cuánticos con espectros/valores propios generales dados por

mi ( norte ; s ) ∼ norte − s

y división de energía

Δ mi ( norte , metro ; s ) ∼ ( 1 norte s − 1 metro s )

para todos s ≠ − 2 , − 1 , 2 ?

Respuestas (1)

Aquí no abordaremos el problema completo de la mecánica cuántica, sino que solo discutiremos el límite semiclásico. norte ≫ 1 , es decir, sólo la parte altamente excitada del espectro de energía lejos de la energía del estado fundamental.

Si estamos en una dimensión con un potencial de ley de potencia

Φ ( X )   ∼   | X | pag , pag > − 2 ,

para | X | suficientemente grande, entonces podemos usar el método semiclásico de esta respuesta Phys.SE para estimar la longitud clásicamente accesible como

ℓ ( V )   ∼   V 1 pag ,

dónde V es la energía potencial disponible. El número de estados norte ( mi ) por debajo del nivel de energía mi luego va como

norte ( mi )   ∼   mi 1 pag + 1 2 ,

y por lo tanto las energías discretas semi-clásicas también obedecen a una ley de potencia

mi norte   ∼   norte 2 pag pag + 2 para norte   ≫   1.

Los valores pag = − 1 , pag = 2 , y pag = ∞ corresponden al átomo de hidrógeno (radial), el oscilador armónico y el pozo de potencial infinito, respectivamente.

Para completar: Si el poder pag < − 2 , entonces solo habrá un número finito de estados ligados, por lo que nuestro análisis semiclásico no funciona en ese caso.
¡Eso es genial! Y me pregunto qué tipo de "campo/sistema/potencial" completamente cuántico (no semiclásico) podría producirlos también. Tu respuesta es de gran ayuda Qmechanic. También estoy muy interesado en los sistemas físicos y reales/fácticos con ese espectro asintótico... Es bastante interesante por muchas razones para mis "pensamientos" actuales...
Y una pregunta más, ¿y si tu "p" es compleja? ¿Se puede resolver la ecuación de Schrödinger 1D para ese potencial? ( T + V ) Ψ = mi Ψ ? Allí T es el operador de energía cinética (libre) habitual en QM y V ∼ | Φ | pag con pag ∈ C
En QM estándar, el hamiltoniano H debe ser un operador hermtico, y por lo tanto el potencial Φ (y por lo tanto pag ) debe ser real. Puede intentar buscar QM PT-simétrico.
Lo sé...;) Pero me pregunto si algunas personas que trabajan con QM no hermitiano (o tal vez en alguna variante de CT/PT QM) han resuelto algo así.
p=1 se utiliza como modelo de quarkonium. Ver arxiv.org/abs/hep-ph/0608103
¡Oh!. Yo no sabía eso! ¡Eso es genial! ¿Alguien más? También me pregunto sobre el espectro de rayos cósmicos... ¿Cómo aumenta la cantidad de rayos cósmicos detectados con la energía?
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