¿Es lo mismo el retardo de grupo que el retardo de una determinada frecuencia?

El retardo de grupo es una función de la frecuencia , por lo que realmente no se puede decir que sea lo mismo que el retardo de una determinada frecuencia; ese sería un caso particular. Además, la respuesta de paso es una suma infinita de senos más DC, lo que significa que la función de Heaviside no es realmente adecuada para determinar el retardo de grupo (ya que está midiendo un efecto combinado de retardos de grupo, dada la suma infinita de senos), particularmente cuando los retrasos grupales negativos entran en juego. Las excepciones a la regla son las FIR de fase lineal.

Entonces, la forma correcta de determinar el retardo (grupo o fase) a una frecuencia determinada, es alimentar al filtro con una señal armónica, un seno, que idealmente no tiene más armónicos que el fundamental. Si modula la entrada con un pulso gaussiano o no, depende de su enfoque, pero la modulación del pulso disminuye los posibles tiempos de establecimiento transitorios asociados con respuestas de magnitud más "ingobernables" alrededor de la frecuencia de esquina.

Para el filtro de Bessel, los transitorios de la respuesta escalonada son muy pequeños (no está críticamente amortiguado), para Gaussian son (idealmente) nulos, pero para Butterworth y superiores (Papoulis, Pascal, Chebyshev, etc.), e incluso para filtros de transición (Butterworth<->Bessel), la respuesta de magnitud alrededor de la frecuencia de esquina tiende a ser más y más aguda, lo que se traduce en características de fase menos lineales, por lo tanto, un derivado más "tambaleante" de la fase.

En el dominio del tiempo, esto puede verse como oscilaciones decrecientes. Para una entrada repentina, como un paso o un coseno, la salida tardará en estabilizarse hasta que se pueda realizar una medición adecuada. Modulando la entrada con un pulso gaussiano, por ejemplo, hará que la derivada de la envolvente sea suave, mitigando así los transitorios.

Considere la curva en la parte superior que está cerca de la marca de 0,6 s, ¿significa que si inyecto una frecuencia normalizada de 1,1 Hz en el filtro, esa señal tendrá un retraso de casi 0,6 s en la salida? lo que significa que la diferencia de tiempo entre la salida y la entrada a esa frecuencia es de 0,6 s?

Si se refiere a la lectura particular de 0,6 ms a 1,1 Hz, entonces sí. Pero tenga en cuenta que el retardo de grupo y el retardo de fase son bestias diferentes. Lo que estás midiendo se llama retraso de fase , es decir, el retraso de la fase de la señal en comparación con la entrada. Esto se vuelve más evidente para filtros con menos fase lineal. Por ejemplo, un Chebyshev de segundo orden, fp = 1 Hz, ondulación de 1 dB, tiene 302 ms a 1 Hz (el retraso de grupo es la traza punteada):

Si ejecuta una prueba en el dominio del tiempo con un seno de 1 Hz, modulado por un pulso gaussiano (la entrada es V(x)), esto es lo que obtiene:

y ampliado:

Tenga en cuenta que la lectura dice que la diferencia es de 234,67 ms, que podría estar cerca de los 302 ms, pero no lo es. Si, por el contrario, calculamos el retardo de fase :

$$H(s)=\frac{1.1025103}{s^2+1.0977343*s+1.1025103}$$ $$t_{pd}(\omega)=-\frac{\arctan H(j\omega)}{\omega} =-\frac{\arctan\frac{1.1025103\omega}{1.1025103(1.1025103-\omega^2)}}{\omega}$$ $$t_{pd}(1\text{Hz})=\arctan\frac{1.1025103}{1.1025103^2-1)}=0.23518$$

Compara 235.18ms con 234.67ms, y te acercas mucho, ahorra pequeñas desalineaciones de los cursores, redondeos, pocos puntos/disminución, etc. Así que debes tener cuidado con lo que estás midiendo.

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Habría respondido en los comentarios, pero merece un poco más de explicación. Los filtros de Bessel son un caso feliz ya que son aproximaciones de los de Laplace.$e^{-s}$, lo que se traduce en una fase cada vez más lineal a medida que aumenta el orden. Esto, a su vez, significa un retraso constante del grupo. Entonces, en este punto, puede ver que el retraso de fase, calculado como se indicó anteriormente, significa la fase dividida por la frecuencia (pulsación), lo que significa una variable lineal dividida por otra variable lineal => constante. Para el retardo de grupo, tienes la derivada de una variable lineal => constante. Así es como se ve la trama de los dos para la definición de libro de texto del filtro Bessel de segundo orden:

$$H(s)=\frac{3}{s^2+3s+3}$$

Como puede ver, tanto el retardo de fase (azul) como el retardo de grupo son planos e iguales, al menos hasta la esquina de la frecuencia, donde la fase se vuelve menos lineal, por lo que la fase y la derivada divergen. Si aumenta el orden a, digamos, 4:

$$H(s)=\frac{105}{s^4+10s^3+45s^2+105s+105}$$

El retraso de fase aquí es un poco aproximado ya que tuve que sortear las atan2()limitaciones del cuadrante, pero puedes ver que se vuelven más similares.

Entonces, lo que está midiendo cuando intenta determinar la entrada de frecuencia única (como se indicó anteriormente) es en realidad el retraso de fase. El retardo de grupo mediría la envolvente (como tú mismo lo dices) del seno modulado. También vea el documento que vinculé al principio, hay algunas explicaciones agradables allí, vale la pena leer.

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También daré algunos ejemplos de por qué no puedes decir que la respuesta de paso te da el "retraso de grupo" porque, como se dijo al principio, el retraso (fase o grupo) es una función de la frecuencia y, a menos que estés hablando sobre un FIR de fase lineal, no puede decir que un filtro tiene un retraso de grupo (o fase) de X, o que la función de Heaviside le da el retraso de grupo (o fase), porque el retraso varía con la frecuencia.

Aquí hay una respuesta de paso de Bessel de segundo orden y una medida de tiempo de subida del 50 %. Tenga en cuenta que las lecturas se acercan al valor de CC del retardo de grupo a medida que aumenta el orden, pero ese número solo sería una coincidencia exacta si el filtro tuviera el valor ideal.$e^{-s}$función de transferencia, por lo tanto, un retraso constante de CC a la luz, que nunca tendrá ya que es una aproximación:

y las lecturas del retardo de grupo en CC y frecuencia de esquina:

Y aquí están las mismas dos lecturas para una octava orden:

Solo para comparar, un Chebyshev de quinto orden, ondulación de 1dB:

Sí, eso es lo que significa.

Significa la tasa de cambio de fase con respecto a todas las frecuencias en la banda de paso o el retardo de la envolvente de la portadora , pero esto no incluye el retardo de fase o el cambio de fase f constante.

Más detalles:

¿Cómo se puede medir el retraso de grupo?

Pendiente lineal de ΔΦ/Δf (en °/360° por Hz)

Tenga en cuenta que en una escala de fase lin-log, la pendiente cambia debido a log f (pendiente no constante)

• 1) Con un analizador de espectro
  Podemos esperar un cambio de tiempo para 1f y 2f usando el cambio de fase para obtener el retardo de grupo en filtros de alto orden. Puede calcular el cambio de fase de 1/2 ciclo y la frecuencia. diferencia. Pero la pendiente de fase será curva si se usa un registro f.

• 2) Con un visor que usa un portador de ráfaga de manera más difícil

Ok si Retardo de grupo = retardo de envolvente de una señal de 1 MHz encendida en el cruce por cero. ¿Qué umbral se utiliza para el grupo?
50% pico? sin
pico del 100 % sin
pico del 1 %? no
Dado que Group Delay no incluye el cambio de fase, el cambio de fase debe cancelarse al principio de la envolvente. En lo anterior, el cruce por cero repetido de los ciclos repetidos se proyecta hacia el inicio, para indicar el final del retardo de grupo.

• 3) Con un alcance que usa un pulso de paso más fácil y preciso

La función de paso es una entrada continua de amplio espectro, por lo que el RETARDO DE GRUPO se define como el tiempo de retardo hasta el 50 % de la amplitud del pulso de paso.

Espera que el retardo de grupo de Bessel sea menor que otros tipos de filtro con Q más alto, por lo que espera que la respuesta de paso cambie al 50 % de Vpk (P50).

Comparación de retardo de grupo para 3 tipos de filtros.

Notas:

• Bessel es "retraso de grupo máximo plano" también es bajo Q, por lo tanto, el retraso de grupo más bajo
• Butterworth no está críticamente amortiguado. pero es un filtro de magnitud máximamente plana con una forma simétrica para la banda de paso y la banda de parada. Sin embargo, una respuesta escalonada se ha sobrepasado.
• muchos EE luchan con este dilema en PLL o sistemas de control con respuesta de paso de alto orden con sobreimpulso usando el tipo de filtro incorrecto.

¿Puedes pensar por qué este es el caso usando tu comprensión de Demora de grupo?

El tiempo de subida está relacionado con el tipo de respuesta del filtro. Bessel da$\tau _r=0.34/f_{BW_{-3dB} }$

Una red de escalera LC es$\tau _r=0.73/f_{BW_{-3dB} }$que tiene mucha (9dB) de ondulación de banda de paso