¿Cambió el retraso del grupo?

Dado que no hay nada sobre el problema que publicaste, supondré que deseas un paso bajo con un retraso de 259 μs o un retraso de 55 μs, e intentaré dar una explicación de cómo calcular el filtro para un cierto retraso de grupo.

Primero, como se menciona en los comentarios, los filtros Bessel tienen la propiedad especial de que se aproximan a un retardo de grupo constante en la banda de paso (y una fase lineal, implícitamente). Son filtros de todos los polos, como Butterworth y Chebyshev tipo I, pero no obedecen la atenuación de -3 dB en la frecuencia de esquina. Lo que significa que su retardo de grupo será diferente si se utiliza cualquier forma de escalado de frecuencia.

Considere la función de transferencia de paso bajo de segundo orden normalizada:

$$\begin{align} H(s)&=\dfrac{3}{s^2+3s+3}\tag{1} \\ \tau_{gd}(\omega)&=\dfrac{3\omega^2+9}{\omega^4+3\omega^2+9}\tag{2} \end{align}$$

Esto significa que$\omega_0=\sqrt3$y$Q_0=1/\sqrt3$, pero la frecuencia (angular) para la cual el retardo de grupo es la unidad es, en sí misma, la unidad, lo que significa$\omega_0\;!=\;\omega_{gd}$, o$\omega_{gd}$tiene una escala de frecuencia adjunta que no se puede quitar. Si se elimina, se pierde el retardo de grupo, que es$\tau_{gd}(\omega_{gd}=1)=12/13$. Eso está cerca de la unidad y mejora cada vez más con el orden creciente: para el tercer orden es$276/277$, para el 4 es$12745/12746$, etc. El retraso del grupo en DC es siempre la unidad. La aplicación de escala de frecuencia para una atenuación de -3 dB da como resultado una función de transferencia diferente:

$$\begin{align} |H(s)|^2=\dfrac12 \Rightarrow \\ \dfrac{9}{\omega^4+3\omega^2+9}=\dfrac12 \Rightarrow \\ \left\{ \begin{aligned} \omega_{1,2}&=\pm\sqrt{\dfrac32}\sqrt{\sqrt{5}-1}&\approx \pm 1.3617 \\ \omega_{3,4}&=\pm j\sqrt{\dfrac32}\sqrt{\sqrt{5}+1}&\approx \pm j2.2032 \end{aligned}\tag{3} \right. \end{align}$$ $$H(\omega_1 s)=\dfrac{1.618}{s^2+2.2032s+1.618}\tag{4}$$

Si ves una proporción áurea ahí es por las raíces (3). Para este caso particular (segundo orden), sucede que resulta de esta manera. El factor de calidad sigue siendo el mismo, pero el retraso del grupo ahora se convierte en:

$$\tau_{gd}'(\omega)=\dfrac{0.73438\omega^2+1.1882}{0.33332\omega^4+0.53937\omega^2+0.87261}\tag{5}$$

que, evaluado en$\omega_1=\sqrt{1.618}$se convierte$\tau_{gd}'(1.272)=0.90776$, lo cual no es$12/13=0.923$(puede estar cerca, pero considere el límite de 1). evaluado en$\omega_{gd}$da como resultado$\tau_{gd}(1)=1.1016=1/0.90776$. Como puede ver, cualquier escalado de frecuencia significa perder el retardo de grupo.

Ahora para su caso, dice que necesita un retraso de grupo de 259 μs. Eso significa$\omega_{gd}=10^6/259=3861$, a la que la normalización$\sqrt3$se aplica para llegar$\omega_0=3861\sqrt3=6687.5$. Se dan las resistencias de terminación, por lo que todo lo que queda es resolver L y C:

$$H_{LC}(s)=\dfrac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left(\frac{1}{R_oC}+\frac{R_i}{L}\right)s+\frac{2}{LC}} \Rightarrow \\ {\left\{ \begin{aligned} \dfrac{1}{R_oC}+\dfrac{R_i}{L}&=\dfrac{\omega_{gd}}{Q_0} \\ \dfrac{2}{LC}&=\omega_{gd}^2 \end{aligned} \right.} \\ {\left\{ \begin{aligned} L_1&=0.24512 \\ C_1&=1.8244\cdot 10^{-7} \\ L_2&=0.065679 \\ C_2&=6.8088\cdot 10^{-7} \end{aligned} \right.}\tag{6} \\ $$

Como es un cuadrático hay dos raíces, ambas son reales, ambas dan los mismos resultados. Uno con inductor más grande y capacitor más pequeño, y viceversa. Elige tu opción. El resultado está a continuación, donde he compensado ligeramente los trazos para que no se superpongan por completo; se muestra que los retrasos de grupo son los mismos, y las lecturas confirman los cálculos:

Nota: para la expresión de Laplace ( E1) he usado w=1/259u=3861, no la escalada, como para el cálculo de L y C, porque la función de transferencia subyacente ya es el prototipo de paso bajo, que tiene la corrección "incorporada". Para un retardo de grupo de 55 μs, L=[156.16m, 41.84m], C=[116.23n, 433.8n].

Ahora, esta es la parte que se vuelve confusa. No dice nada sobre el problema, excepto que debe ser de un retraso de grupo determinado, y que el autor usó un retraso de grupo diferente, y nada más. No puedo saber por qué o por qué no, pero los resultados para el retardo de grupo de 55 μs coinciden, si se calculan para un retardo de 55 μs, no para 259 μs.

Sin embargo, sus resultados no se calcularon para$\omega_{gd}$. Su$\Omega_0=1.127$, cual es$\sqrt{1.272}=\sqrt{\sqrt{1.618}}$. Es un poco ... poco convencional, pero si invierte a la escala correcta (es decir,$\omega_{gd}=1$) obtendrás los mismos valores que yo:$58.19\cdot 1.1278=65.628\approx 65.68$, y para el capacitor$603.3\cdot 1.1278=680.42\approx 680.88$; similar para el caso de 55 μs. Por cierto, 12% de error, ¿eso te suena? (1.1278, 12%, grillos ). Y es mucho por un error de cálculo, quizás no por elementos prácticos que involucren inductancias y capacitores (tan grandes, al menos), pero para la teoría es inmenso.

La próxima vez, no use las tablas de -3dB que ve en casi todas partes, o aplique la corrección de antemano, si tiene la intención de usar un filtro Bessel para su retardo de grupo . Recuerde esto: el retraso del grupo de unidad significa calcular para una unidad$\omega$, cualquiera que sea la atenuación; especificar una atenuación significa que el retardo de grupo está desactivado, en cuyo caso las tablas están bien como están.

Esta es la razón por la que, al diseñar un filtro de este tipo, se debe elegir una de dos cosas: el retardo de grupo o la frecuencia de esquina ("clásica" -3 dB). La opción más común es el retardo de grupo. No es raro elegirlo para una frecuencia en particular, pero el retardo del grupo es irrelevante: obtendrás una fase lineal, disfrútalo mientras dure.

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Dada su edición reciente, el problema establece un paso bajo LC Bessel de 600 Ω igualmente terminado con un retraso de grupo de 259 μs. No veo en ninguna parte ninguna mención de 55 μs y, dada la formulación (o lo que dice mi muy pobre traductor portugués), el problema se resuelve como se muestra arriba: imponer$\omega=\sqrt3/259\,\mu\text{s}$. Entonces, en (6), la primera ecuación es igual a$3\cdot 10^6/259$(desde$Q_0=1/\sqrt3$la frecuencia se convierte$\omega/Q\rightarrow\omega\sqrt3\cdot\sqrt3=3\cdot\omega$), y la segunda ecuación es igual a$3\cdot 10^{12}/259^2$.

Aunque la otra respuesta es mucho más completa (mejor para la escuela), pensé que sería útil mostrar mi forma de hombre perezoso (mejor para la vida real) para hacer un filtro Bessel de escalera LC en LTspice. Primero, comenzaré con los valores de su tabla normalizada, pero configuraré parámetros km(para la escala de magnitud) y kf(para la escala de frecuencia) para usarlos más adelante. La 2*pitontería está ahí a propósito. Dado que LTspice generalmente opera en Hz, es más fácil configurar sus barridos si también ve todo en Hz. Simularé esto y luego obtendré el retardo de grupo en la banda de paso (ver cuadro rojo) para este filtro normalizado. Una cosa adicional a tener en cuenta es que manualmente hago clic con el botón derecho en todos mis inductores y establezco explícitamente la resistencia en serie a cero (es1mΩpredeterminado) para asegurarse de que estos cálculos ideales tengan un error bajo.

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Ahora, puedo tomar 1.362sy dividirlo por el retardo de grupo deseado 259µspara obtener la frecuencia de 5259 rad/smi kfparámetro. Convertiré esto a 837 Hz (dividido 5259por 2π) y lo incluiré en mi .paramestado de cuenta. Primero tengo que ajustar mi rango de barrido, pero luego puedo simular este filtro recién escalado.

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Ahora cambiaré kma 600. Aunque en realidad no importa en este ejemplo, es una buena verificación de cordura para asegurarme de que mis ecuaciones para los componentes se ingresaron correctamente. Debería obtener exactamente la misma trama si fueran ... lo cual hago.

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.measLo último que hago es agarrar mi confiable calculadora TI-30XIIS ( también puede usar declaraciones, pero las odio) para evaluar todos los valores de los componentes de las cosas entre llaves, y luego seleccionar las de la vida real usando esos cálculos. Fui con valores E96 para la resistencia y valores E12 para los demás. En lugar de cambiar los valores ideales por los nuevos, hago una copia del circuito para poder simular ambas versiones al mismo tiempo y comparar las desviaciones. No incluí la ESR del inductor en este ejemplo, pero puede hacerlo para una simulación más precisa.

De acuerdo con estos datos, mi circuito real (suponiendo una tolerancia de componente del 0%) dará un retraso de grupo de banda de paso de 262µsen lugar de 259µs.