Relación entre retardo de grupo, frecuencia de polo y factor de calidad

Así que estoy resolviendo algunos problemas con los filtros y se me ocurrió una aparente contradicción que me gustaría aclarar. Considerando una sección bicuadrática de paso bajo:

$$T(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{K_0\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s+\omega_0^2}$$

Entonces, en el primer problema que apareció, se esperaba que calculara el retraso de grupo en la frecuencia del polo.

Consideré que la fase está dada por (porque en este ejercicio la ganancia es negativa)

$$\phi(\omega)=\pi-\arctan(\frac{\frac{\omega\omega_0}{Q_0}}{\omega_0^2-\omega^2})$$

y el retardo de grupo calculado con

$$\tau_g(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega}$$

se me ocurre

$$\tau_g(\omega)=\frac{Q_0\omega_0(\omega_0^2+\omega^2)}{Q_0^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega_0^2\omega^2}$$

finalmente en$\omega_0$:

$$\tau_g(\omega_0)=\frac{2Q_0}{\omega_0}$$

¡Hecho!

Ahora vamos con el segundo ejercicio, tengo que considerar la misma sección bicuadrática pero ahora es un filtro de Bessel con retardo de grupo constante$\tau_0$. Ahora el autor calcula el retardo de grupo en función de la frecuencia del polo y el factor de calidad y lo obtiene.

$$\tau_0=\frac{1}{Q_0\omega_0}$$

No tengo idea de dónde viene esta expresión y por qué contradice mi respuesta del ejercicio anterior. ¿Es esto porque este es un filtro Bessel ahora? ¿Cómo llegamos con esta nueva expresión? ¿Cuáles son los pasos matemáticos? gracias de antemano