¿Es la vida media un promedio estadístico de tiempos de descomposición variables?

La vida media es, por definición, la cantidad de tiempo hasta que la mitad de una muestra infinitamente grande se descompone. Eso es precisamente equivalente (según la interpretación frecuentista de la probabilidad, si eso te importa) al tiempo hasta que la probabilidad de descomposición de una partícula individual llega a la mitad. La vida media es una cantidad teórica que no depende de la cantidad real de partículas con las que se está tratando.

Si pones 8 partículas en una caja y observas cuánto tarda la mitad de ellas en descomponerse, podrías considerar que es una medida de la vida media de las partículas. Como con cualquier medida, el valor que mida, en general, no será el mismo que el valor real (teórico). Así que sí, habrá fluctuaciones, y una vez que el número de partículas restantes caiga a dos, una o cero, esas fluctuaciones serán muy, muy grandes. Pero lo que está fluctuando es su medida de la vida media, no la verdadera vida media teórica en sí.

Sí, es un promedio estadístico en el sentido de que la vida media medida se acercará a un valor único de una vida media real si realiza muchas mediciones.

En otras palabras, si hicieras el experimento muchas, muchas veces encontrarías que en promedio te quedan 4 partículas después de que haya pasado la vida media.

Para cualquier experimento individual , los resultados variarían.

Cada átomo tiene una probabilidad de sobrevivir intacto después de un tiempo$t$de acuerdo a

Si esperas 4 vidas medias entonces$t = 4\ln 2/\lambda$y la probabilidad de que una partícula individual sobreviva es$\exp(-4\ln 2) = 0.0625$.

En la práctica, debe tener un número entero de partículas, por lo que los resultados más probables son 1 o cero átomos intactos.

Si tienes 8 átomos y la probabilidad de que alguno de ellos se haya desintegrado es$p=0.0625$, entonces uno puede usar la distribución de probabilidad binomial para calcular la probabilidad de que cualquier número$n$sobrevivirá de una población de$N$es

Asi que$P(0)= 0.597$,$P(1) = 0.318$,$P(2)= 0.037$y así.

Ahora, si su objetivo es estimar la vida media en base a un solo experimento con estos 8 átomos, entonces veo (al menos) dos posibilidades.

(i) Si mide el tiempo que tarda en ocurrir el cuarto decaimiento, entonces puede calcular$P(4)$como arriba, pero calcularlo para un rango de valores posibles de$\lambda$. Esto le dará una distribución de probabilidad para$\lambda$a partir del cual puede encontrar el valor de máxima verosimilitud o un intervalo de confianza.

(ii) Si tiene los tiempos de desintegración individuales de cada desintegración, entonces para cada átomo puede calcular la probabilidad de que se haya desintegrado en menos tiempo que su tiempo de desintegración observado, dado un supuesto$\lambda$, cual es$P_i(\lambda) = (1- \exp[-\lambda t_i])$. También puede incluir cualquier átomo que no se haya desintegrado,$P_i(\lambda) = \exp[-\lambda t_i]$. Luego forma el producto de estas probabilidades$P(\lambda)= \prod P_i(\lambda)$para darle una distribución de probabilidad general para$\lambda$, a partir del cual se puede estimar un valor de máxima verosimilitud para$\lambda$y un intervalo de confianza.